Funkcije v matematiki lahko pojmujemo kot prodajne avtomate. Če dobijo denar v obliki vložka, v zameno dajo nekaj pločevink ali piškotov. Podobno funkcije sprejmejo nekaj vhodnih števil in nam dajo nekaj izhoda. Lahko rečemo, da je v resničnem življenju vse mogoče formulirati in rešiti s pomočjo funkcij. Od načrtovanja zgradb in arhitekture do mega nebotičnikov, matematični model skoraj vsega v resničnem življenju zahteva funkcije, zato se ni mogoče izogniti, da imajo funkcije v naših življenjih ogromen pomen. Domena in obseg sta en vidik, skozi katerega je mogoče opisati funkcijo.
Na primer: Recimo, da je na vrhu avtomata napisano, da je mogoče nekaj kupiti le z bankovci v vrednosti 20 Rs in 50 Rs. Kaj pa, če nekdo uporablja bankovce za 10 Rs? Stroj ne bo dal nobenega rezultata. Torej domena predstavlja, kakšne vnose lahko imamo v funkciji. V tem primeru so bankovci Rs.20 in Rs.50 domena prodajnega avtomata. Podobno ni pomembno, koliko denarja nekdo vloži v avtomat, iz njega nikoli ne bo dobil sendvičev. Torej, tukaj pride v poštev koncept razpona, razpon je možni rezultat, ki ga lahko da stroj.
Območje in domena funkcije
Domena funkcije:
Domena so vse vrednosti, ki lahko gredo v funkcijo, za katero daje veljaven izhod. Je nabor vseh možnih vhodov v funkcijo.
Na primer: Na spodnji sliki je f(x) = x2. Niz vseh vhodov se imenuje Domena, niz vseh izhodov pa se šteje za obseg.
Kako najti domeno funkcije?
Domena funkcije mora vsebovati vsa realna števila razen točk, kjer imenovalec postane nič in členi pod kvadratnimi koreni postanejo negativni. Če želite najti domeno, poskusite najti točke ali vhodne vrednosti, nad katerimi funkcija ni definirana.
Vprašanje 1: Poiščite domeno
odgovor:
Ta funkcija lahko da nedefiniran rezultat, ko je x = 1. Torej, potem je domena R – {1} .
2. vprašanje: Poiščite domeno naslednje funkcije:
Odgovori :
Pomembno je, da funkcija ne postane neskončna ali nedefinirana, zato moramo videti, katere vrednosti domene lahko naredijo funkcijo nedefinirano ali neskončno.
Če pogledamo imenovalec, je jasno, da vrednosti 3 in 5 pomenita, da je imenovalec 0, zato je funkcija neskončna, kar ni zaželeno.
javascript onclickZato vrednosti x=3 in x=5 ni mogoče postaviti sem.
Domena bo R – {3,5}.
3. vprašanje: Poiščite vrednosti domen, za katere so funkcije Y = (2x 2 -1) in Z= (1-3x) sta enaka.
Odgovori :
Izenačenje obeh funkcij:
2 x2– 1 = 1 – 3 x
2x2+ 3x – 2 = 0
2x2+ 4x – x – 2 = 0
2x (x + 2) – 1 (x + 2) = 0
(2x – 1) (x + 2) = 0
x = 1/2, -2.
Zato so vrednosti domene {1/2, -2}.
Območje funkcije
Območje funkcije je nabor vseh njenih možnih izhodov.
Primer: Oglejmo si funkcijo ƒ: A⇢A, kjer je A = {1,2,3,4}.
Elemente domene množice imenujemo predslike, elemente sodomene množice, ki so preslikani v predslike, pa slike. Območje funkcije je niz vseh slik elementov v domeni. V tem primeru je obseg funkcije {2,3}.
Kako najti obseg funkcije?
Razpon je razpon vrednosti izhoda funkcije. Če lahko izračunamo največjo in najmanjšo vrednost funkcije, lahko dobimo predstavo o obsegu funkcije.
Vprašanje 1: Poiščite obseg. f(x) =
odgovor:
Ker je funkcija kvadratni koren, nikoli ne more dati negativnih vrednosti kot rezultat. Najmanjša vrednost je torej lahko samo 0 pri x = 1. Največja vrednost lahko gre do neskončnosti, ko x še naprej povečujemo.
Torej je obseg funkcije [0,∞).
Vprašanje 2: Domena funkcije ƒ definirana z f(x) =
odgovor:
Podano je f(x) =
frac{1}{sqrtx – } .Pri izbiri nabora domen je treba zagotoviti dvoje,
- Imenovalec nikoli ne gre na nič.
- Izraz znotraj kvadratnega korena ne postane negativen.
Razširimo zapisano znotraj izraza znotraj kvadratnega korena.
kakšna je velikost zaslona mojega monitorja
sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases} V tem primeru ne moremo postaviti nobene vrednosti, x ≥ 0 ali x <0.
Zato f ni definiran za noben x ∈ R. Torej je domena prazna množica.
Domena in območje kvadratnih funkcij
Kvadratne funkcije so funkcije oblike f(x) = ax2+ bx + c, kjer so a, b in c konstante in a ≠ 0. Graf kvadratne funkcije je v obliki parabole. V bistvu je ukrivljena oblika, ki se odpira navzgor ali navzdol.
Poglejmo, kako narisati kvadratne funkcije,
Torej, v naši kvadratni funkciji
- če je a> 0, se parabola odpira navzgor.
- če je a <0, se parabola odpira navzdol.
Zdaj je vrh najvišja ali najnižja točka naše krivulje, odvisno od grafa kvadratne funkcije. Iskanje oglišča grafa splošnega kvadratnega izraza.
V standardni kvadratni obliki je oglišče podano z
Opomba: Vsaka krivulja je simetrična okoli svoje navpične osi.
Poglejmo nekaj primerov,
Vprašanje: Narišite graf za f(x) = 2x 2 + 4x + 2.
odgovor:
Primerjava te enačbe s splošno enačbo kvadratne funkcije. a = 2, b = -4 in c = 2.
Ker je a> 0, se bo ta parabola odprla navzgor.
- Vertex x-vrednost =
frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1 - Točka y-vrednost = 2(-1)2+ 4(-1) + 2 = 0
Torej, oglišče je na (-1,0). Ker se parabola odpira navzgor, mora biti to najmanjša vrednost funkcije.
Točka, kjer graf seka os y, je (0,2).
Obseg in domeno kvadratnih funkcij je mogoče zlahka ugotoviti z izrisom grafa. Ni vedno potrebno izrisati celotnega grafa, za razpon je treba poznati samo smer parabole (navzgor ali navzdol) in vrednost parabole na točki. Vrednost na točki je vedno najmanjša/največja, odvisno od smeri parabole. Domena takih funkcij so vedno cela realna števila, ker so povsod definirana, tj. ni nobene vhodne vrednosti, zaradi katere bi lahko kot izhod dali nedefinirano.
Poglejmo še en primer v zvezi z domeno in obsegom parabole.
vprašanje: Narišite graf in poiščite domeno in obseg dane funkcije, f(x) = -x 2 + 4.
odgovor:
Ker je a = -1. Parabola se bo odprla navzdol, tj. minimalne vrednosti ne bo, segala bo v neskončnost. Vendar pa bo največja vrednost, ki se bo pojavila na točki.
Za iskanje položaja oglišča lahko uporabimo prejšnjo formulo. Oglišče je na položaju (0,4).
Vrednost na točki (0,4) = (0)2+ 4 = 4.
Največja vrednost je torej 4, najmanjša vrednost pa negativna ali neskončna.
Območje funkcije – (-∞, 4] in domena je R .
