Predikatna logika se ukvarja s predikati, ki so predlogi, sestavljeni iz spremenljivk.

Predikatna logika - definicija

Predikat je izraz ene ali več spremenljivk, določenih na določeni domeni. Predikat s spremenljivkami je lahko predlog tako, da se spremenljivki dodeli vrednost ali pa se spremenljivka kvantificira.

primer javanskega podniza

• Upoštevajte, da E(x, y) označuje 'x = y'
• Recimo, da X(a, b, c) označuje 'a + b + c = 0'
• Recimo, da M(x, y) označuje 'x je poročen z y.'

Kvantifikator:

Spremenljivka predikatov je kvantificirana s kvantifikatorji. V predikatni logiki obstajata dve vrsti kvantifikatorja - eksistencialni kvantifikator in univerzalni kvantifikator.

Eksistencialni kvantifikator:

Če je p(x) predlog nad vesoljem U. Potem je označen kot ∃x p(x) in se bere kot 'V vesolju obstaja vsaj ena vrednost spremenljivke x, tako da je p(x) resnična. Kvantifikator ∃ se imenuje eksistencialni kvantifikator.

Obstaja več načinov za pisanje predloga z eksistencialnim kvantifikatorjem, tj.

(∃x∈A)p(x) ali ∃x∈A tako, da p (x) ali (∃x)p(x) ali p(x) velja za nek x ∈A.

kontradiktorno iskanje

Univerzalni kvantifikator:

Če je p(x) predlog nad vesoljem U. Potem je označen kot ∀x,p(x) in se bere kot 'Za vsak x∈U je p(x) resničen.' Kvantifikator ∀ se imenuje univerzalni kvantifikator.

Obstaja več načinov za pisanje predloga z univerzalnim kvantifikatorjem.

∀x∈A,p(x) ali p(x), ∀x ∈A Ali ∀x,p(x) ali p(x) velja za vse x ∈A.

Negacija kvantificiranih predlogov:

Ko negiramo kvantificirano propozicijo, tj. ko je univerzalno kvantificirana propozicija negirana, dobimo eksistencialno kvantificirano propozicijo, in ko je eksistencialno kvantificirana propozicija negirana, dobimo univerzalno kvantificirano propozicijo.

Pravili za zanikanje kvantificirane propozicije sta naslednji. Imenujejo se tudi DeMorganov zakon.

Primer: Zanikajte vsakega od naslednjih predlogov:

1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)

sonce: ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y∼q(y)

2. (∃x∈U) (x+6=25)

velikosti besedila iz lateksa

sonce: ~( ∃ x∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25

3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)

sonce: ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x ∼ p(x)∧∃y~q(y))

Predlogi z več kvantifikatorji:

Predlog, ki ima več kot eno spremenljivko, je mogoče kvantificirati z več kvantifikatorji. Več univerzalnih kvantifikatorjev je mogoče razporediti v poljubnem vrstnem redu, ne da bi spremenili pomen dobljenega predloga. Poleg tega je več eksistencialnih kvantifikatorjev mogoče razporediti v poljubnem vrstnem redu, ne da bi spremenili pomen predloga.

Propozicija, ki vsebuje tako univerzalne kot eksistencialne kvantifikatorje, vrstnega reda teh kvantifikatorjev ni mogoče zamenjati, ne da bi spremenili pomen izjave, npr. propozicija ∃x ∀ y p(x,y) pomeni 'Obstaja nekaj x, tako da p (x, y) velja za vsak y.'

primer: Napišite zanikanje za vsako od naslednjih. Ugotovite, ali je nastala trditev resnična ali napačna. Predpostavimo, da je U = R.

zbirka podatkov

1.∀ x ∃ m(x²

sonce: Negacija ∀ x ∃ m(x²2≧m). Pomen ∃ x ∀ m (x²≧m) je, da za nek x obstaja tako, da x²≧m, za vsak m. Trditev je resnična, saj obstaja nekaj večjih x, tako da x²≧m, za vsak m.

2. ∃ m∀ x(x²

sonce: Negacija ∃ m ∀ x (x²2≧m). Pomen ∀ m∃x (x²≧m) je, da za vsak m obstaja takšen x, da je x²≧m. Trditev velja, saj za vsak m obstaja večji x, tako da je x²≧m.