Pravokotne črte v matematiki so pari črt, ki se vedno sekajo pod pravim kotom, tj. pravokotne črte so vedno sekajoče se črte, ki se sekajo pod 90°. Pravokotne črte dobro vidimo, vogali sten, vogali mize in drugi predstavljajo vzporednico. Za pravokotne premice pravimo, da se med seboj sekajo pravokotno. Najkrajša razdalja med dvema črtama je podana z uporabo pravokotne razdalje med njima, tj. pravokotna črta med dvema točkama daje najkrajšo razdaljo med njima.

V tem članku bomo podrobno spoznali pravokotne črte, njihove lastnosti in druge.

Kazalo

• Kaj so pravokotne črte?
• Lastnosti pravokotnih črt
• Naklon pravokotnih črt
• Formula za pravokotne črte
• Kako narisati pravokotne črte?
• Enačba pravokotne črte

Kaj je pravokotno?

Navpičnica je definirana kot premica, ki tvori a pravi kot z drugo vrstico. Z drugimi besedami, pravokotna črta pomeni črte, ki tvorijo kot 90 stopinj. Najkrajša razdalja med točko in premico je pravokotna premica med njima. Navpičnica tvori 90 stopinj z drugo črto. Premica AB in PQ, kot je prikazano na spodnji sliki, sta pravokotni druga na drugo, ker se sekata pod kotom 90 stopinj.

Črta AB in CD, dodana na spodnji sliki, prikazujeta dve pravokotni črti.

Kaj so pravokotne črte?

Pravokotne črte pomenijo črte, ki se sekajo pod kotom, enakim 90 stopinjam, tj. če se dve črti srečata pod pravim kotom, se imenujeta pravokotni črti. Vzemite spodaj dodano sliko, premica l in premica m se sekata v točki O in kot, ki ju tvorita, je 90 stopinj.

Tako lahko rečemo, da je l premica, pravokotna na m premico ali da je premica m pravokotna na premico l. Ta pogoj predstavimo kot l ⊥ m. Vsaka premica, vzporedna s premico l, je pravokotna na premico m. Najkrajša razdalja med točko in premico je vedno pravokotna razdalja med njima.

Opomba: Niso vse sekajoče se premice pravokotne, toda vse navpične premice so sekajoče se premice.

Navpični znak

Pravokotne črte so predstavljene s simbolom '⊥'. Če sta premici l in m pravokotni druga na drugo, tj. sekata se pod kotom 90 stopinj, ju imenujemo pravokotni premici in sta predstavljeni kot l ⊥ m. Točka presečišča se imenuje vznožje navpičnice.

Pravokotne oblike

Prependikularne oblike lahko vidimo okoli nas v vsakdanjem življenju. V pravokotne oblike spadajo oblike, pri katerih je vsaj en kot 90°. Različne oblike, ki imajo pravokotne črte (pravokotne oblike), so,

• kvadrat
• Pravokotnik
• Pravokotni trikotnik

Lastnosti pravokotnih črt

Kateri koli dve sekajoči se črti, ki se sekata pod kotom 90 stopinj, imenujemo pravokotni črti. Pravokotne črte imajo drugačne lastnosti kot sekajoče se črte in splošne lastnosti sekajočih se črt so:

• Pravokotne črte so črte, ki se vedno sekajo pod pravim kotom.
• Če sta dve premici pravokotni na isto premico, sta ti premici med seboj vedno vzporedni.

Naklon pravokotnih črt

Naklon katere koli črte je tan kota, ki ga tvori črta s pozitivno osjo x, naklon v primeru pravokotnih črt pa ima med seboj poseben odnos.

Recimo, da imamo dve premici PQ in RS, ki sta pravokotni druga na drugo. Zdaj je naklon črte PQ recimo m₁in naklon črte RS je recimo m₂, potem je produkt naklonov enak -1. Izjava za isto je,

Izjava: Dve premici sta pravokotni druga na drugo, če je produkt njunega naklona enak -1.

To je mogoče predstaviti kot,

m ₁ .m ₂ = -1

Formula za pravokotne črte

Dve osnovni formuli pravokotne črte sta obravnavani spodaj,

Izjava 1: Zmnožek naklona pravokotnice z naklonom prvotne črte je vedno enak -1 .

Dokaz:

Naj izvirna črta tvori kot θ z osjo X.

Nato bo premica, pravokotna na premico, tvorila kot θ + 90° ali θ – 90° z osjo X.

Zdaj je naklon prvotne črte enak tan θ

spremenljivka javascript global

Naklon pravokotnice je enak bodisi tan (θ + 90^O) ali tan (θ – 90^O)

tan (θ + 90 ^O ) = tan (θ – 90 ^O ) = -cot i

Tako je naklon pravokotnice -cot θ

zdaj,

Produkt nagibov = tan θ × (-cot θ) = -1

Zato dokazano

Izjava 2: Če je enačba premice ax + by + c = 0

Potem je enačba premice, pravokotne na dano premico,

– bx + ay + d = 0

kje, c in d so vse konstantne vrednosti

Dokaz:

Enačba premice je ax + by + c = 0

Naklon črte je -a/b

Naj bo naklon pravokotnice m

Vemo, da je produkt naklona dveh pravokotnih črt -1

m × (-a / b) = – 1

m = b / a

Zdaj, če pravokotna črta poteka skozi točko (x₁, in₁), potem je enačba pravokotnice,

(in – in₁) / (x – x₁) = b / a

in – in₁= (b / a) × (x – x₁)

je – je₁= bx – bx₁

– bx + je + (bx₁– je₁) = 0 {naj bo bx₁– je₁= d}

Tako je zahtevana enačba premice,

– bx + ay + d = 0

Kako narisati pravokotne črte?

Par pravokotnic zlahka sestavimo s pomočjo kotomera in šestila.

Risanje pravokotnih črt s kotomerom

Za risanje para pravokotnih črt sledite spodnjim korakom,

Korak 1: Najprej narišite vodoravno črto AB na papir z ravnilom.

2. korak: Na premici AB označimo poljubno točko P, iz katere moramo potegniti pravokotnico.

3. korak: Postavite ščitnik na črto in ujemite sredino ščitnika s točko P na črti.

4. korak: Z zaščito označite kot 90 stopinj.

5. korak: Povežite črto s katerim koli ravnilom pod kotom 90 stopinj, da dobite par pravokotnih črt.

Risanje pravokotne črte s šestilom

Sledijo koraki za izdelavo pravokotnih črt s šestilom

Korak 1: Z ravnilom narišite črto na papir

2. korak: Vzemite točko na črti in nanjo postavite iglo kompasa.

3. korak: Na eni strani črte narišite lok (polkrog).

4. korak: Ne da bi spremenili polmer šestila, postavite iglo na en konec premera polkroga.

5. korak: Polkrožni lok trisekirajte tako, da ga dvakrat prerežete. Prvi rez ima 60°, drugi rez pa 120°

6. korak: Med prvim in drugim rezom je razlika 60°. Prepolovite to vrzel s šestilom, ne da bi spremenili njen polmer.

7. korak: Sedaj združi točko razpolovljenja 60 in 120 s točko, za katero se je prvotno domnevalo, da bo narisala polkrožni lok.

8. korak: Tako narisana črta je pravokotna na začetno črto.

Primeri pravokotnih črt

Pravokotne črte so črte, ki se vedno srečajo pod kotom 90 stopinj. V resničnem življenju vidimo različne primere vzporednih črt, nekateri med njimi so,

• Vogali prostorov so pravokotni drug na drugega.
• Kazalci na uri predstavljajo pravokotne črte na 3′ uri.
• Vogali mize in mize predstavljajo pravokotne črte.

Pravokotne in vzporedne črte

Pravokotne črte so črte, ki med seboj tvorijo kot 90°, pri čemer so kot vzporedne črte črte, ki so med seboj vzporedne, to pomeni, da so enako oddaljene druga od druge in se nikoli ne sekajo.

Opomba: Vzporedne črte se srečajo v neskončnosti .

Naklon vzporednih in pravokotnih črt

Naklon vzporednih premic je enak, medtem ko je produkt naklona pravokotnih premic -1.

Enačbe vzporednih in pravokotnih premic

Če sta dve premici vzporedni, potem sta njuni enačbi premic:

• ax + by + c = 0 in ax + by + d = 0

Medtem ko je enačba dveh pravokotnic,

• ax + by + c = 0 in -bx + ax + d = 0

Kaj so vzporedne črte?

Vzporedne črte v geometriji so opredeljene kot črte, ki se ne srečajo v 2-D ravnini, tj. nikoli se ne sekajo v 2-D ravnini. Razdalja med obema vzporednima premicama je vedno konstantna. Spodnja slika prikazuje dva para vzporednih črt.

Premice a, b ter x in y so med seboj vzporedne.

Razlika med vzporednimi in pravokotnimi črtami

Vzporedne črte proti pravokotnim črtam so obravnavani v spodnji tabeli.

Enačba pravokotne črte

Standard enačba premice je ax + by + c = 0 in črta, pravokotna na dano črto, je podana z uporabo,

-bx + ay + d = 0

kje, d je konstantna vrednost in njena vrednost se najde z uporabo drugega podanega pogoja.

Nagib pravokotne črte

Recimo, da imamo premico, katere enačba je v obliki y = mx + c in je njen naklon m, potem je naklon premice, pravokotne na dano premico,

Naklon pravokotnice = -1/m

Če je naklon dveh črt m₁in m₂potem je razmerje med tema dvema pobočjima, m ₁ m ₂ = -1

Preberi več,

• Vzporedne črte
• Prečne črte
• Lastnosti vzporednih črt

Primeri pravokotnih črt

Primer 1: Ali sta premici 3x + 2y + 5 = 0 in 2x – 3y + 8 = 0 pravokotni?

rešitev:

Naklon premice ax + by + c = 0 je -a/b

• Naklon premice 3x + 2y + 5 = 0 je m₁= – 3 / 2.
• Naklon premice 2x – 3y + 8 = 0 je m₂= -2 / (-3) = 2 / 3

Vemo, da so premice pravokotne, če imajo njihovi nakloni pogoj.

m₁× m₂= -1

Zdaj iz zgornjega pogoja,

= (- 3/2) × (2/3)

= -1

Zmnožek naklonov je -1, zato sta črti pravokotni.

Primer 2: Poiščite premico, pravokotno na premico x + 2y + 5 = 0 in poteka skozi točko (2, 5).

rešitev:

Vemo, da je enačba premice, pravokotne na premico ax + by + c = 0, – bx + ay + d = 0.

Dana enačba premice je x + 2y + 5 = 0

Če primerjamo premico x + 2y + 5 = 0 z ax + by + c = 0, dobimo,

• a = 1
• b = 2
• c = 5

Tako je enačba katere koli premice, pravokotne na to premico – 2x + y + d = 0…(i)

Glede na to, da ta premica poteka skozi (2, 5),

Tako postavimo (2, 5) v to enačbo pravokotnice

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Če nadomestimo vrednost d v eq(i), dobimo

-2x + y + (-1) = 0

Tako je enačba pravokotnice -2x + y – 1 = 0

Primer 3: Poiščite naklon premice, pravokotne na premico 3x + 9y + 7 = 0.

rešitev:

podano,

Enačba premice je 3x + 9y + 7 = 0

Naklon te premice = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

Naj bo naklon ine pravokoten na zgornjo črto m

Zdaj uporabimo formulo pravokotne črte

m × (- 1 / 3) = – 1

⇒ m = 3

Tako je naklon premice, pravokotne na dano premico, enak 3.

Primer 4: Poiščite kot premice, ki je pravokotna na premico x + y + 3 = 0.

rešitev:

Podana vrstica,

x + y + 3 = 0

Naklon dane premice = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Naj, naklon premice, pravokotne na zgornjo premico, je m

Iz formule pravokotne črte,

m × -1 = – 1

⇒ m = 1

Kot premice, pravokotne na dano premico, je torej θ

m = tan θ

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = tan^-1(1) = 45°

Torej je kot, ki ga tvori pravokotna črta z osjo X 45°.

Perpendicular Practice Problems

Q1. Poiščite kot premice, ki je pravokotna na premico 3x + 9y – 11 = 0.

Q2. Če premica poteka skozi točki (11, –4) in (–1, 8) in druga premica skozi točke (8, 3) in (–1, -3). Preverite, ali so te črte vzporedne ali pravokotne.

Q3. Poiščite enačbo za premico, ki je pravokotna na 5x − 7y = 5 in poteka skozi točko (-1, 8).

Q4. Poiščite enačbo premice, ki poteka skozi (2, 3) in je pravokotna na os x.

Pravokotne črte – pogosta vprašanja

Kaj so pravokotne črte?

Če se dve sekajoči se premici sekata pod pravim kotom, to je pod 90 stopinjami, se ti premici imenujeta pravokotni premici.

Kaj so vzporedne in pravokotne črte?

Vzporedne črte so črte, ki se med seboj ne srečajo v 2-D ravnini. Razdalja med dvema vzporednima premicama je vedno konstantna. Medtem ko se dve črti srečata pod kotom 90 stopinj, se te črte imenujejo pravokotne črte.

Ali so sekajoče se črte vedno pravokotne?

Ne, niso vse sekajoče se črte vedno pravokotne, lahko so pravokotne ali pa tudi ne. Sekajoče se črte se lahko srečajo pod različnimi koti.

Kakšen je pogoj za naklon pravokotnic?

Recimo, da je naklon dveh premic m₁in m₂potem je pogoj za naklone dveh pravokotnih črt, m ₁ .m ₂ = -1

Koliko pravokotnih črt lahko narišemo na premico?

Na premico lahko narišemo poljubno število pravokotnih premic, torej imamo lahko neskončno pravokotnih premic na katero koli premico.

Kdaj sta dve črti pravokotni?

Dve premici sta pravokotni, če se sekata pod kotom 90°, torej se pravokotni premici sekata vedno pod pravim kotom.

Kaj je pravokotni trikotnik?

Trikotnik, ki ima kot 90°, se imenuje pravokotni trikotnik. Imenujejo ga tudi pravokotni trikotnik.

Katere so pravokotne oblike?

Nekatere oblike, ki se imenujejo pravokotne oblike, so oblike, ki imajo v sebi vsaj eno pravokotnico. Različni primeri pravokotnih oblik so kvadrat, pravokotnik, pravokotni trikotnik

Kaj so pravokotni koti?

Kote, ki so enaki 90°, imenujemo pravokotni koti. Drugo ime pravokotnih kotov je pravi kot.

Kaj je pravokotni simbol?

Simbol ali znak, ki predstavlja navpično je, ⟂. Ta simbol uporabljamo za prikaz, ali sta dve premici pravokotni. Na primer, če je zapisano A⟂B, kjer sta A in B dve premici, potem je premica A pravokotna na premico B in obratno.

Kako ugotovite, katere črte so pravokotne?

Če je kot med dvema premicama 90°. Potem lahko rečemo, da sta ti dve premici pravokotni. Če je naklon obeh črt podan kot m₁, m₂potem uporabimo formulo pravokotne črte, da ugotovimo, ali so pravokotne ali ne. Formula pravokotne črte je m₁.m₂= -1

Kako najti naklon pravokotnih črt?

Naklon pravokotnih črt je mogoče enostavno izračunati z uporabo formule za naklon. Recimo, da imamo premico, jo najprej pretvorimo v standardno obliko in nato uporabimo formulo za naklon, da poiščemo naklon. Formula za naklon je m = -b/a, kjer je a koeficient pri x in b koeficient pri y.