Permutacija in kombinacija sta najbolj temeljna pojma v matematiki in s temi koncepti se učencem predstavi nova veja matematike, to je kombinatorika. Permutacija in kombinacija sta načina za razporeditev skupine predmetov tako, da jih izberete v določenem vrstnem redu in oblikujete njihove podmnožice.

Za razporeditev skupin podatkov v določenem vrstnem redu se uporabljajo formule za permutacijo in kombinacijo. Izbiranje podatkov ali predmetov iz določene skupine imenujemo permutacija, vrstni red, v katerem so razporejeni, pa kombinacija.

Permutacije in kombinacije

V tem članku bomo preučevali koncept permutacije in kombinacije ter njune formule, ki jih bomo uporabili tudi za reševanje številnih vzorčnih problemov.

cm do stopal in palcev

Kazalo

• Pomen permutacije
• Pomen kombinacije
• Izpeljava permutacijskih in kombinacijskih formul
• Razlika med permutacijo in kombinacijo
• Rešeni primeri o permutaciji in kombinaciji

Pomen permutacije

Permutacija je različna interpretacija določenega števila komponent, ki se prenašajo ena za drugo, nekatere ali vse naenkrat. Na primer, če imamo dve komponenti A in B, potem obstajata dve verjetni izvedbi, AB in BA.

Število permutacij, ko so komponente 'r' nameščene od skupno 'n' komponent, je ⁿ p _r . Na primer, naj bo n = 3 (A, B in C) in r = 2 (vse permutacije velikosti 2). Potem obstajajo ³ p ₂ takih permutacij, kar je enako 6. Teh šest permutacij je AB, AC, BA, BC, CA in CB. Šest permutacij A, B in C, posnetih po tri naenkrat, je prikazanih na spodnji sliki:

Pomen permutacije

Permutacijska formula

Permutacijska formula se uporablja za iskanje števila načinov izbire r stvari iz n različne stvari v določenem vrstnem redu in zamenjava ni dovoljena in je podana na naslednji način:

Permutacijska formula

Razlaga permutacijske formule

Kot vemo, je permutacija razporeditev r stvari od n, kjer je vrstni red razporeditve pomemben (AB in BA sta dve različni permutaciji). Če obstajajo tri različne številke 1, 2 in 3 in če je nekdo radoveden, kako zamenjati števke tako, da naenkrat vzame 2, se prikaže (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3) ), (3, 1) in (3, 2). To je mogoče doseči na 6 načinov.

Tu se (1, 2) in (2, 1) razlikujeta. Ponovno, če se te 3 številke uporabijo za vse naenkrat, bodo interpretacije (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1). ), (3, 1, 2) in (3, 2, 1), torej na 6 načinov.

Na splošno je mogoče nastaviti n različnih stvari z r (r^thstvar je lahko katera koli od preostalih n – (r – 1) stvari.

Zato je celotno število permutacij n različnih stvari, ki nosijo r naenkrat, n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)], kar je zapisano kotⁿp_r. Ali z drugimi besedami,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Pomen kombinacije

To so ločeni deli skupnega števila komponent, ki se prenašajo ena za drugo, nekatere ali vse naenkrat. Na primer, če obstajata dve komponenti A in B, potem obstaja samo en način za izbiro dveh stvari, izberite obe.

Na primer, naj bo n = 3 (A, B in C) in r = 2 (vse kombinacije velikosti 2). Potem obstajajo ³ C ₂ takih kombinacij, kar je enako 3. Te tri kombinacije so AB, AC in BC.

Tukaj, kombinacija katerih koli dveh črk od treh črk A, B in C je prikazano spodaj, opazimo, da v kombinaciji vrstni red, v katerem sta vzeta A in B, ni pomemben, saj AB in BA predstavljata isto kombinacijo.

Pomen kombinacije

Opomba: V istem primeru imamo različne točke za permutacijo in kombinacijo. Kajti AB in BA sta dva različna elementa, tj. dve različni permutaciji, toda za izbiro sta AB in BA enaka, tj. ista kombinacija.

Kombinacijska formula

Kombinacijska formula se uporablja za izbiro komponent 'r' izmed skupnega števila komponent 'n' in je podana z:

Kombinacijska formula

Z uporabo zgornje formule za r in (n-r) dobimo enak rezultat. torej

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Razlaga kombinirane formule

Po drugi strani pa je kombinacija vrsta paketa. Še enkrat, od teh treh števil 1, 2 in 3, če so nizi ustvarjeni z dvema številoma, potem so kombinacije (1, 2), (1, 3) in (2, 3).

Tu sta (1, 2) in (2, 1) enaka, za razliko od permutacij, kjer sta različni. To je zapisano kot³C₂. Na splošno je število kombinacij n različnih stvari, vzetih r naenkrat,

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Izpeljava permutacijskih in kombinacijskih formul

Te formule za permutacijo in kombinacijo lahko izpeljemo z uporabo osnovnih metod štetja, saj te formule predstavljajo isto stvar. Izpeljava teh formul je naslednja:

Izpeljava permutacijske formule

Permutacija je izbira r različnih objektov izmed n objektov brez zamenjave in kjer je vrstni red izbire pomemben, s temeljnim izrekom štetja in definicijo permutacije dobimo

P (n, r) = n. (n-1) . (n-2) . (n-3). . . . .(n-(r+1))

Z množenjem in deljenjem zgoraj z (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, dobimo

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Tako je izpeljana formula za P (n, r).

Izpeljava kombinacij formule

Kombinacija je izbira r elementov izmed n elementov, ko vrstni red izbire ni pomemben. Njegova formula se izračuna kot

C(n, r) = skupno število permutacij / število načinov za razporeditev r različnih predmetov.
[Ker po temeljnem izreku štetja vemo, da je število načinov za razporeditev r različnih predmetov na r načinov = r!]

C(n,r) = P (n, r)/ r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Tako je izpeljana formula za kombinacijo, tj. C(n, r).

Razlika med permutacijo in kombinacijo

Razlike med permutacijo in kombinacijo lahko razumemo iz naslednje tabele:

Preverite tudi,

• Binomski izrek
• Binomska ekspanzija
• Binomske naključne spremenljivke
• Temeljni izrek štetja

Rešeni primeri o permutaciji in kombinaciji

Primer 1: Poiščite število permutacij in kombinacij n = 9 in r = 3 .

rešitev:

Podano, n = 9, r = 3

Z uporabo zgornje formule:

Za permutacijo:

ⁿp_r= (n!) / (n – r)!

⇒ⁿp_r= (9!) / (9 – 3)!

⇒ⁿp_r= 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6!

⇒ ⁿ p _r = 504

Za kombinacijo:

ⁿC_r= n!/r!(n − r)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(9 − 3)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(6)!

⇒ⁿC_r= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ⁿ C _r = 84

Primer 2: Na koliko načinov je mogoče komisijo, sestavljeno iz 4 moških in 2 žensk, izbrati izmed 6 moških in 5 žensk?

rešitev:

Izberite 4 moške od 6 moških =⁶C₄poti = 15 načinov

Izberite 2 ženski od 5 žensk =⁵C₂poti = 10 načinov

Komisija je lahko izbrana v⁶C₄×⁵C₂= 150 načinov.

inicializirati seznam python

Primer 3: Na koliko načinov je mogoče na polici razporediti 5 različnih knjig?

rešitev:

To je problem permutacije, ker je vrstni red knjig pomemben.

Z uporabo permutacijske formule dobimo:

⁵p₅= 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Zato obstaja 120 načinov za razporeditev 5 različnih knjig na polici.

Primer 4: Koliko 3-črkovnih besed lahko sestavite s pomočjo črk iz besede BASNICA?

rešitev:

To je problem permutacije, ker je vrstni red črk pomemben.

Z uporabo permutacijske formule dobimo:

⁵p₃= 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Zato obstaja 60 3-črkovnih besed, ki jih je mogoče sestaviti s pomočjo črk iz besede FABLE.

Primer 5: Komisija, ki šteje 5 članov, se oblikuje iz skupine 10 ljudi. Na koliko načinov je to mogoče storiti?

rešitev:

To je težava s kombinacijo, ker vrstni red članov ni pomemben.

S kombinirano formulo dobimo:

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Zato obstaja 252 načinov za oblikovanje komisije 5 članov iz skupine 10 ljudi.

Primer 6: Picerija ponuja 4 različne prelive za svoje pice. Če stranka želi naročiti pico z natanko 2 dodatkoma, na koliko načinov lahko to naredi?

rešitev:

To je težava pri kombiniranju, ker vrstni red prelivov ni pomemben.

S kombinirano formulo dobimo:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Zato obstaja 6 načinov, kako naročiti pico z natanko 2 dodatkoma iz 4 različnih dodatkov.

lebdeči css

Primer 7: Kako velike besede lahko sestavimo z uporabo 2 črk iz izraza LJUBEZEN?

rešitev:

Izraz LJUBEZEN ima 4 različne črke.

Zato zahtevano število besed =⁴p₂= 4! / (4 – 2)!

Zahtevano število besed = 4! / 2! = 24/2

⇒ Zahtevano število besed = 12

Primer 8: Koliko besed s 3 soglasniki in 2 samoglasnikoma lahko sestavimo iz 5 soglasnikov in 3 samoglasnikov?

rešitev:

Število načinov izbire 3 soglasnikov od 5 =⁵C₃

Število načinov izbire 2 samoglasnikov od 3 =³C₂

Število načinov izbire 3 soglasnikov iz 2 in 2 samoglasnikov iz 3 =⁵C₃׳C₂

⇒ Zahtevano število = 10 × 3

= 30

To pomeni, da imamo lahko 30 skupin, kjer vsaka skupina vsebuje skupno 5 črk (3 soglasnike in 2 samoglasnika).

Število načinov razporeditve 5 črk med seboj

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Zato je potrebno število poti = 30 × 120

⇒ Zahtevano število poti = 3600

Primer 9: Koliko različnih kombinacij dobite, če imate 5 predmetov in izberete 4?

rešitev:

Vstavite podana števila v kombinacijsko enačbo in rešite. n je število elementov, ki so v nizu (5 v tem primeru); r je število elementov, ki jih izbirate (4 v tem primeru):

C(n, r) = n! / r! (n – r)!

⇒ⁿC_r= 5! / 4! (5 – 4)!

⇒ⁿC_r= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒ⁿC_r= 120/24

⇒ⁿC_r= 5

Rešitev je 5.

niz v int

Primer 10: Koliko izrazov je od 6 soglasnikov in 3 samoglasnikov iz 2 soglasnikov in 1 samoglasnika je mogoče ustvariti?

rešitev:

Število načinov izbire 2 soglasnikov od 6 =⁶C₂

Število načinov izbire 1 samoglasnika od 3 =³C₁

Število načinov izbire 3 soglasnikov od 7 in 2 samoglasnikov od 4.

⇒ Zahtevani načini =⁶C₂׳C₁

⇒ Zahtevani načini = 15 × 3

⇒ Zahtevani načini= 45

To pomeni, da imamo lahko 45 skupin, kjer vsaka skupina vsebuje skupno 3 črke (2 soglasnika in 1 samoglasnik).

Število načinov razporeditve 3 črk med seboj = 3! = 3 × 2 × 1

⇒ Zahtevani načini za razporeditev treh črk = 6

Zato je potrebno število načinov = 45 × 6

⇒ Zahtevani načini = 270

Primer 11: V koliko različnih oblikah ali lahko črke izraza 'TELEFON' organiziramo tako, da so samoglasniki dosledni priti skupaj?

rešitev:

Beseda 'TELEFON' ima 5 črk. V njem sta samoglasnika 'O', 'E' in ta dva samoglasnika morata biti vedno skupaj. Tako lahko ta dva samoglasnika združimo in gledamo kot eno črko. To je PHN(OE).

Zato lahko vzamemo skupno število črk, kot je 4, in vse te črke so različne.

Število metod za organiziranje teh črk = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Zahtevani načini razporeditve črk = 24

Vsa 2 samoglasnika (OE) sta različna.

Število načinov za razporeditev teh samoglasnikov med seboj = 2! = 2 × 1

⇒ Zahtevani načini za razporeditev samoglasnikov = 2

Zato je potrebno število poti = 24 × 2

⇒ Zahtevani načini = 48.

Pogosta vprašanja o permutacijah in kombinacijah

Kaj je faktorska formula?

Za izračun permutacij in kombinacij se uporablja faktorska formula. Faktorijska formula za n! je podan kot

n! = n × (n-1) × . . . × 4 × 3 × 2 × 1

Na primer, 3! = 3 × 2 × 1 = 6 in 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Kaj počne ⁿ C _r predstavljati?

ⁿC_rpredstavlja število kombinacij, iz katerih je mogoče sestaviti n jemanje predmetov r ob času.

Kaj mislite s permutacijami in kombinacijami?

Permutacija je dejanje urejanja stvari v določenem vrstnem redu. Kombinacije so načini izbire r predmetov iz skupine n objektov, kjer vrstni red izbranega predmeta ne vpliva na skupno kombinacijo.

Napišite primere permutacij in kombinacij.

Število 3-črkovnih besed, ki jih je mogoče sestaviti z uporabo črk besede pravi, HELLO;⁵p₃= 5!/(5-3)! to je primer permutacije.
Število kombinacij, v katerih lahko zapišemo besede z uporabo samoglasnikov besede HELLO;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], to je primer kombinacije.

Napišite formulo za iskanje permutacij in kombinacij.

• Formula za izračun permutacij: ⁿ Pr = n!/(n-r)!
• Formula za izračun kombinacij: ⁿ Cr = n!/[r! (n-r)!]

Napišite nekaj primerov permutacij in kombinacij iz resničnega življenja.

Razvrščanje oseb, številk, črk in barv je nekaj primerov permutacij.
Izbira menija, oblačil in predmetov so primeri kombinacij.

Kakšna je vrednost 0!?

Vrednost 0! = 1, je zelo uporaben pri reševanju problemov permutacije in kombinacije.