Obdobje je definirano kot časovni interval med dvema točkama v času, periodična funkcija pa je definirana kot funkcija, ki se ponavlja v rednih intervalih ali obdobjih v času. Z drugimi besedami, periodična funkcija je funkcija, katere vrednosti se ponovijo po določenem časovnem intervalu. Periodična funkcija je predstavljena kot f(x + p) = f(x), kjer je p perioda funkcije. Sinusni val, trikotni val, kvadratni val in žagasti val so nekateri primeri periodičnih funkcij. Spodaj so grafi nekaterih periodičnih funkcij in lahko opazimo, da ima graf vsake periodične funkcije translacijsko simetrijo.

Osnovno obdobje funkcije

Domena periodične funkcije zajema vse vrednosti realnih števil, medtem ko je njen obseg določen za fiksni interval. Periodična funkcija je tista, pri kateri obstaja pozitivno realno število P, tako da je f (x + p) = f (x), pri čemer so vsi x realna števila. Osnovna perioda funkcije je najmanjša vrednost pozitivnega realnega števila P ali perioda, v kateri se funkcija ponavlja.

f(x + P) = f(x)

zimsko narečje

kje,

p je obdobje funkcije in f je periodična funkcija.

Kako določiti obdobje funkcije?

1. Periodična funkcija je definirana kot funkcija, ki se ponavlja v rednih intervalih ali obdobjih.
2. Predstavljena je kot f(x + p) = f(x), kjer je p perioda funkcije, p ∈ R.
3. Perioda pomeni časovni interval med dvema pojavoma vala.

Periode trigonometričnih funkcij

Trigonometrične funkcije so periodične funkcije in periode trigonometričnih funkcij so naslednje

• Perioda Sin x in Cos x je 2 str .

tj. sin(x + 2π) = sin x in cos(x + 2π) = cos x

• Obdobje Tan x in Cot x je Pi.

tj. tan(x + π) = tan x in cot(x + π) = cot x

• Perioda Sec x in Cosec x je 2 str.

tj. sec(x + 2π) = sec x in cosec(x + 2π) = cosec x

Perioda funkcije se imenuje razdalja med ponovitvami katere koli funkcije. Perioda trigonometrične funkcije je dolžina enega celotnega cikla. Amplituda je opredeljena kot največji odmik delca v valu iz ravnovesja. Preprosto povedano, to je razdalja med najvišjo ali najnižjo točko in srednjo točko na grafu funkcije. V trigonometriji obstajajo tri temeljne funkcije, in sicer sin, cos in tan, katerih obdobja so 2π, 2π in π obdobja. Začetna točka grafa katere koli trigonometrične funkcije je x = 0.

Na primer, če opazujemo spodnji graf kosinusa, lahko vidimo, da je razdalja med dvema pojavoma 2π, tj. perioda kosinusne funkcije je 2π. Njegova amplituda je 1.

Kosinusni graf

Periodične formule

• Če je p perioda periodične funkcije f (x), potem je 1/f (x) prav tako periodična funkcija in bo imela enako osnovno periodo p kot f(x).

če f (x + p) = f (x),

F (x) = 1/f (x) , potem F (x + p) = F (x).

• Če je p perioda periodične funkcije f(x), potem je f (ax + b), a>0 tudi periodična funkcija s periodo p/|a|.

• Perioda Sin (ax + b) in Cos (ax + b) je 2π/|a|.
• Perioda Tan (ax + b) in Cot (ax + b) je π/|a|.
• Perioda Sec (ax + b) in Cosec (ax + b) je 2π/|a|.

• Če je p periodična funkcija f(x), potem je af(x) + b, a>0 prav tako periodična funkcija s periodo p.

• Perioda [a Sin x + b] in [a Cos x + b] je 2π.
• Perioda [a Tan x + b] in [a Cot x + b] je π.
• Perioda [a Sec x + b] in [a Cosec x + b] je 2π.

Vadite naloge na osnovi periodične funkcije

1. naloga: Določite periodo periodične funkcije cos(5x + 4).

rešitev:

Dana funkcija: cos (5x + 4)

Koeficient x = a = 5.

Vemo, da

Perioda cos x je 2π.

Torej je perioda cos(5x + 4) 2π/ |a| = 2π/5.

Zato je obdobje cos(5x + 4) 2π/5.

Problem 2: Poiščite periodo f(x) = cot 4x + sin 3x/2.

rešitev:

Dana periodična funkcija: f(x) = cot 4x + sin 3x/2

Vemo, da

Perioda cot x je π, perioda sin x pa 2π.

Torej je obdobje cot 4x π/4.

Torej je obdobje greha 3x/2 2π/(3/2) = 4π/3.

Izračun periode funkcije f(x) = cot 4x + sin 3x/2 je,

Perioda f(x) = (LCM od π in 4π)/(HCF od 3 in 4) = 4π/1 = 4π.

Zato je obdobje cot 4x + sin 3x/2 enako 4π.

3. naloga: Skicirajte graf za y = 3 sin 3x+ 5.

rešitev:

Glede na to, da je y = 3 sin 3x + 5

Dani val je v obliki y = a sin bx + c

Iz zgornjega grafa lahko zapišemo naslednje:

1. Perioda = 2π/|b| = 2π/3
2. Os: y = 0 [x-os]
3. Amplituda: 3
4. Največja vrednost = (3 × 1) + 5 = 8
5. Najmanjša vrednost = (3 × -1) + 5 = 2
6. Domena: { x : x ∈ R }
7. Obseg = [ 8, 2]

Naloga 4: Določite periodo dane periodične funkcije 5 sin(2x + 3).

rešitev:

Dana funkcija: 5 sin(2x + 3)

Koeficient x = a = 2.

Vemo, da

Perioda cos x je 2π.

Torej je perioda 5 sin(2x + 3) 2π/ |a| = 2π/2 = π.

Zato je obdobje 5 sin(2x + 3) π.

Problem 5: Poiščite periodo f (x) = tan 3x + cos 5x.

rešitev:

Dana periodična funkcija: f(x) =tan 3x + cos 6x.

Vemo, da

Perioda tan x je π, perioda cos x pa 2π.

Torej je obdobje tan 3x π/3.

Torej je perioda cos 6x 2π/5.

Izračun obdobja funkcije f(x) = tan 3x + cos 6x je,

Perioda f(x) = (LCM od π in 2π)/(HCF od 3 in 5) = 2π/1 = 2π.

Zato je obdobje f (x) = tan 3x + cos 5x 2π.