Pascalov trikotnik je numerični vzorec, urejen v trikotni obliki. Ta trikotnik zagotavlja koeficiente za razširitev katerega koli binomskega izraza, pri čemer so števila organizirana tako, da tvorijo trikotno obliko. tj. druga vrstica v Pascalovem trikotniku predstavlja koeficiente v (x+y)²in tako naprej.

V Pascalovem trikotniku je vsako število vsota zgornjih dveh števil. Pascalov trikotnik ima različne aplikacije v teoriji verjetnosti, kombinatoriki, algebri in raznih drugih vejah matematike.

Naučimo se več o Pascalov trikotnik, njegova konstrukcija in različni vzorci v Pascalovem trikotniku podrobno v tem članku.

Kazalo

• Kaj je Pascalov trikotnik?
• Kaj je Pascalov trikotnik?
• Definicija Pascalovega trikotnika
• Pascalova konstrukcija trikotnika
• Pascalova formula trikotnika
• Pascalova trikotna binomska ekspanzija
• Kako uporabljati Pascalov trikotnik?
• Pascalovi trikotni vzorci
• Dodajanje vrstic
• Praštevila v Pascalovem trikotniku
• Diagonale v Pascalovem trikotniku
• Fibonaccijevo zaporedje v Pascalovem trikotniku
• Lastnosti Pascalovega trikotnika
• Primeri Pascalovega trikotnika

Kaj je Pascalov trikotnik?

Imenuje se po slavnem filozofu in matematiku Baliseju 'Pascal', ki je razvil vzorec števil, ki se začnejo z 1, številke pod njim pa so vsota zgornjih števil. Najprej zapišite številko 1, da začnete izdelovati Pascalov trikotnik. Drugo vrstico ponovno zapišemo z dvema enicama. Druge vrstice so ustvarjene z uporabo prejšnjih vrstic, da sestavi trikotnik številk. Vsaka vrstica se začne in konča z 1.

Osnovna struktura Pascalovega trikotnika je prikazana na spodnji sliki,

Kaj je Pascalov trikotnik?

Pascalov trikotnik definiramo kot osnovni niz števil, razporejenih v trikotni niz, tako da je vsak element v Pascalovem trikotniku vsota dveh števil nad njim. Pascalov trikotnik se začne z 1 in to je prvi predlagal slavni francoski matematik Balise Pascal in zato poimenovan Pascalov trikotnik.

Ta trikotnik predstavlja koeficiente binomske ekspanzije za različne potence. (prepričati se moramo, da je potenca v binomski ekspanziji le naravno število, potem samo Pascalov trikotnik predstavlja koeficiente v binomski ekspanziji).

Definicija Pascalovega trikotnika

Pascalov trikotnik je trikotni niz števil, v katerem je vsako število vsota dveh neposredno nad njim.

Pascalova konstrukcija trikotnika

Z lahkoto lahko sestavimo trikotnik Pad=scal tako, da seštejemo dve številki zgornje vrstice, da dobimo naslednjo številko v spodnji vrstici. Predpostavimo lahko, da se ničelna vrstica začne z enim samim elementom 1, nato pa je element v drugi vrstici 1 1, ki nastane s seštevanjem 1+0 in 1+0. Podobno so elementi v drugi vrstici, 1 2 1 2ki nastanejo s seštevanjem, 1+0, 1+1 in 1+0 in tako dobimo elemente v tretji vrstici. Če ta koncept razširimo na n-to vrstico, dobimo Pascalov trikotnik z n+1 vrstico.

Pascalov trikotnik do 3. vrstice je prikazan na spodnji sliki,

Iz zgornje slike zlahka opazimo, da sta prvi in ​​zadnji element v vsaki vrstici 1.

Pascalova formula trikotnika

Pascalova formula trikotnika je formula, ki se uporablja za iskanje števila, ki ga je treba zapolniti v m-ti stolpec in n-to vrstico. Kot vemo, so členi v Pascalovem trikotniku vsota členov v zgornji vrstici. Zato potrebujemo elemente v (n-1) vrstici ter (m-1) in n-tem stolpcu, da dobimo zahtevano število v m-tem stolpcu in n-ti vrstici.

Preberite podrobno: Pascalova formula trikotnika

Podani so elementi n-te vrstice Pascalovega trikotnika,ⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂, …,ⁿC_n.

Formula za iskanje poljubnega števila v Pascalovem trikotniku je:

ⁿ Cm = ^n-1 C _m-1 + ^n-1 C _m

Kje,

• ⁿ C _m predstavlja (m+1)-ti element v n-ti vrstici., in
• n je nenegativno celo število [0 ≤ m ≤ n]

To formulo lahko razumemo z uporabo spodaj obravnavanega primera,

Primer: Poiščite tretji element v tretji vrstici Pascalovega trikotnika.

rešitev:

Najti moramo 3. element v 3. vrstici Pascalovega trikotnika.

Pascalova formula trikotnika je,

plsql

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

kjeⁿC_kpredstavlja (k+1)^thelement v n^thvrstica.

Tako je 3. element v 3. vrstici,

³C₂=²C₁+²C₂

⇒³C₂= 2 + 1

⇒³C₂= 3

Tako je tretji element v tretji vrstici Pascalovega trikotnika 3.

Pascalova trikotna binomska ekspanzija

Z lahkoto najdemo koeficient pri binomska ekspanzija z uporabo Pascalovega trikotnika. Elementi v (n+1) vrstici Pascalovega trikotnika predstavljajo koeficient razširjenega izraza polinoma (x + y)ⁿ.

Vemo, da je razširitev (x + y)ⁿje,

(x + y)ⁿ= a₀xⁿ+ a₁x^n-1in + a₂x^n-2in²+ … + a_n-1xy^n-1+ a_ninⁿ

Tukaj, a₀, a₁, a₂, a₃, …., a_nsta izraz v (n+1) vrstici Pascalovega trikotnika

Oglejte si na primer razširitev (x+y)⁴

(x + y)⁴=⁴C₀x⁴+⁴C₁x³in +⁴C₂x²in²+⁴C₃xy³+⁴C₄x⁰in⁴

⇒ (x + y)⁴= (1)x⁴+ (4)x³y + (6)x²in²+ (4)xy³+ (1)y⁴

Tu so koeficienti 1, 4, 6, 4 in 1 elementi četrte vrstice Pascalovega trikotnika

Kako uporabljati Pascalov trikotnik?

Pascalov trikotnik uporabljamo za iskanje različnih primerov možnih rezultatov v verjetnostnih pogojih. To je mogoče razumeti z naslednjim primerom, ko enkrat vržemo kovanec, dobimo dva izida, tj. H in T, to predstavlja element v prvi vrstici Pascalovega trikotnika.

Če podobno dvakrat vržemo kovanec, dobimo tri rezultate, tj. {H, H}, {H, T}, {T, H} in {T, T}. Ta pogoj je predstavljen z elementom v drugi vrstici Pascalovega trikotnika.

Tako lahko preprosto ugotovimo možno število izidov pri eksperimentu z metanjem kovanca s preprostim opazovanjem zadevnih elementov v Pascalovem trikotniku.

Spodnja tabela nam pove o primerih, če je kovanec vržen enkrat, dvakrat, trikrat in štirikrat, in njegovo skladnost s Pascalovim trikotnikom

Pascalovi trikotni vzorci

Opazujemo različne vzorce v Pascalovem trikotniku:

• Dodajanje vrstic
• Praštevila v trikotniku
• Diagonale v Pascalovem trikotniku
• Fibonaccijev vzorec

Dodajanje vrstic

Ob natančnem opazovanju Pascalovega trikotnika lahko sklepamo, da je vsota katere koli vrstice v Pascalovem trikotniku enaka potenci 2. Formula za isto je, Za katero koli (n+1)^thvrstici v Pascalovem trikotniku je vsota vseh elementov 2ⁿ

Z uporabo te formule v prvih 4 vrsticah Pascalovega trikotnika dobimo,

1 = 1 = 2⁰

1 + 1 = 2 = 2¹

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

Praštevila v Pascalovem trikotniku

Drug zelo zanimiv vzorec v Pascalsovem trikotniku je, da če se vrstica začne s praštevilom (zanemarjamo 1 na začetku vsake vrstice), potem so vsi elementi v tej vrstici deljivi s tem praštevilom. Ta vzorec ne velja za sestavljena števila.

Na primer, osma vrstica v Pascalovem trikotniku je,

1 7 21 35 35 21 7 1

Tu so vsi elementi deljivi s 7.

Za vrstice, ki se začnejo s sestavljenimi številkami, kot je peta vrstica,

obravnavanje izjem v Javi

1 4 6 4 1

Vzorec ne drži, saj 4 ne deli 6.

Diagonale v Pascalovem trikotniku

Vsaka desna diagonala Pascalovega trikotnika, če jo obravnavamo kot zaporedje, predstavlja različna števila, kot na primer prva desna diagonala predstavlja zaporedje števila 1, druga desna diagonala predstavlja trikotna števila, tretja desna diagonala predstavlja tetraedrska števila, četrta desna diagonala predstavlja Penelopina števila in tako naprej.

Fibonaccijevo zaporedje v Pascalovem trikotniku

Fibonaccijevo zaporedje zlahka dobimo s preprostim seštevanjem števil v diagonalah Pascalovega trikotnika. Ta vzorec je prikazan na spodnji sliki,

Lastnosti Pascalovega trikotnika

Različne lastnosti Pascalovega trikotnika so,

• Vsako število v Pascalovem trikotniku je vsota števila nad njim.
• Začetno in končno število v Pascalovem trikotniku sta vedno 1.
• Prva diagonala v Pascalovem trikotniku predstavlja naravno število ali števila za štetje.
• Vsota elementov v vsaki vrstici Pascalovega trikotnika je podana s potenco 2.
• Elementi v vsaki vrstici so števke potence števila 11.
• Pascalov trikotnik je simetričen trikotnik.
• Elemente v kateri koli vrstici Pascalovega trikotnika je mogoče uporabiti za predstavitev koeficientov binomske ekspanzije.
• Vzdolž diagonale Pascalovega trikotnika opazujemo Fibonaccijeva števila.

Članki, povezani s Pascalovim trikotnikom:

• Binomski izrek
• Binomske naključne spremenljivke in binomska porazdelitev

Primeri Pascalovega trikotnika

Primer 1: Poiščite peta vrstica Pascalovega trikotnika.

rešitev:

večvrstični komentar powershell

Pascalov trikotnik s 5 vrsticami je prikazan na spodnji sliki,

2. primer: razširitev s Pascalovim trikotnikom (a + b) ² .

rešitev:

Najprej napišite generične izraze brez koeficientov.

(a + b)²= c₀a²b⁰+ c₁a¹b¹+ c₂a⁰b²

Zdaj pa sestavimo Pascalov trikotnik za 3 vrstice, da ugotovimo koeficiente.

Vrednosti zadnje vrstice nam dajo vrednost koeficientov.

c₀= 1, c₁= 2, c₂=1

(a + b)²= a²b⁰+ 2a¹b¹+ a⁰b²

Tako preverjeno.

3. primer: razširitev s Pascalovim trikotnikom (a + b) ⁶ .

rešitev:

Najprej napišite generične izraze brez koeficientov.

(a + b)⁶= c₀a⁶b⁰+ c₁a⁵b¹+ c₂a⁴b²+ c₃a³b³+ c₄a²b⁴+ c₅a¹b⁵+ c₆a⁰b⁶

Zdaj pa sestavimo Pascalov trikotnik za 7 vrstic, da ugotovimo koeficiente.

Vrednosti zadnje vrstice nam dajo vrednost koeficientov.

c₀= 1, c₁= 6, c₂= 15, c₃= 20, c₄=15, c₅= 6 in c₆= 1.

(a + b)⁶= 1a⁶b⁰+ 6a⁵b¹+ 15a⁴b²+ 20a³b³+ 15a²b⁴+ 6a¹b⁵+ 1a⁰b⁶

Primer 4: Poiščite drugi element v tretji vrstici Pascalovega trikotnika.

rešitev:

Najti moramo 2. element v 3. vrstici Pascalovega trikotnika.

Vemo, da je n-ta vrstica Pascalovega trikotnikaⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂,ⁿC_3…

Pascalova formula trikotnika je,

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

kjeⁿC_kpredstavlja (k+1)^thelement v n^thvrstica.

Tako je 2. element v 3. vrstici,

³C₁=²C₀+²C₁

= 1 + 2

= 3

Tako je drugi element v tretji vrstici Pascalovega trikotnika 3.

Primer 5: Kovanec je vržen štirikrat, ugotovite verjetnost, da dobite natanko 2 repa.

rešitev:

Z uporabo Pascalove formule trikotnika,

razred proti objektu java

Skupno število rezultatov = 2⁴= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Tukaj dobimo štiri primere, v katerih dobimo 2 repa,

torej

Verjetnost, da dobite dva repa = ugoden izid/skupni izid

= 4/16 = 1/4

Torej je verjetnost, da dobite točno dva repa, 1/4 ali 25 %

Povzetek – Pascalov trikotnik

Pascalov trikotnik je trikotna razporeditev števil, kjer je vsako število vsota dveh števil neposredno nad njim. Ta trikotnik, imenovan po matematiku Blaiseu Pascalu, se začne z eno samo 1 na vrhu, vsaka vrstica pa se začne in konča z 1. Številke v Pascalovem trikotniku ustrezajo koeficientom v binomski ekspanziji, zaradi česar je uporaben v algebri, verjetnosti in kombinatorika. Vzorci znotraj trikotnika vključujejo vsote vrstic, ki so potence števila 2, povezave s Fibonaccijevim zaporedjem in prisotnost praštevil. Pascalov trikotnik je koristen tudi pri izračunu kombinacij in razumevanju rezultatov v verjetnostnih poskusih, kot je met kovancev.

Pogosta vprašanja o Pascalovem trikotniku

Kaj je Pascalov trikotnik?

Trikotni niz števil, ki ga je predlagal slavni matematik Balise Pascal, se imenuje Pascalov trikotnik. Ta trikotnik se začne z 1 in v naslednji vrstici sta začetna in končna številka fiksirani na 1, nato pa se srednje število ustvari z vsoto zgornjih dveh števil.

Kakšne so uporabe Pascalovega trikotnika?

Pascalovi trikotniki imajo različne namene,

• Uporablja se za iskanje binomskega koeficienta binomske ekspanzije.
• Zagotavlja alternativni način za razširitev binomskih členov.
• Uporablja se v algebri, teoriji verjetnosti, permutaciji in kombinaciji ter drugih vejah matematike.

Kakšna je uporaba Pascalovega trikotnika pri binomski ekspanziji?

Za enostavno iskanje koeficienta katerega koli člena v binomski ekspanziji uporabljamo Pascalov trikotnik. Vsaka vrstica Pascalovega trikotnika (recimo n-ta) predstavlja koeficient binomske ekspanzije (x+y)ⁿ. Na primer, druga vrstica Pascalovega trikotnika je 1 2 1 in razširitev (x+y)²

(x+y)²= x²+ 2xy + y²

Tukaj je koeficient vsakega člena 1 2 1, kar je podobno 2. vrstici Pascalovega trikotnika.

Katere različne vzorce najdemo v Pascalovem trikotniku?

Različni vzorci, ki jih zlahka najdemo v Pascalovem trikotniku, so:

• Trikotni vzorec
• Parni in lihi vzorec
• Fibonacci vzorec
• Simetrični vzorec

Kaj je 5^thVrstica Pascalovega trikotnika?

Spodaj je predstavljena peta vrstica Pascalovega trikotnika,

1 5 10 10 5 1

Vemo, da je vsota vseh elementov v kateri koli vrstici podana z 2ⁿkjer n predstavlja število vrstic. Tako je vsota vseh členov v 5. vrstici,

2⁵= 32

Kaj je prvi element vsake vrstice Pascalovega trikotnika?

Prvi element vsake vrstice Pascalovega trikotnika je 1. Ta člen imenujemo 0. člen vrstice.