Ciljna funkcija je cilj problema linearnega programiranja, kot že ime pove. Pri linearnem programiranju ali linearni optimizaciji uporabljamo različne tehnike in metode za iskanje optimalne rešitve linearnega problema z nekaterimi omejitvami. Tehnika lahko vključuje tudi omejitve neenakosti. Ciljna funkcija v linearnem programiranju je optimizacija, da bi našli optimalno rešitev za dano težavo.
V tem članku bomo izvedeli vse o objektivni funkciji, vključno z njeno definicijo, vrstami, kako oblikovati ciljno funkcijo za kateri koli problem itd. Naučili se bomo tudi različnih predstavitev objektivnih funkcij, kot so linearne ciljne funkcije ali nelinearni cilj funkcije. Torej, začnimo se učiti o tem temeljnem konceptu v linearnem programiranju, tj. o objektivni funkciji.
Kaj je objektivna funkcija?
Kot že ime pove, ciljna funkcija v bistvu določa cilj problema. Osredotoča se na odločanje na podlagi omejitev. To je funkcija z realnimi vrednostmi, ki jo je treba povečati ali zmanjšati, odvisno od omejitev. Je kot funkcija dobička ali izgube. Običajno je označena z Z.
Terminologije, povezane z objektivno funkcijo, so naslednje:
- Omejitve: To so v bistvu pogojne enačbe, ki urejajo linearno funkcijo
- Odločitvene spremenljivke: Spremenljivke, katerih vrednosti je treba ugotoviti. Enačbe rešujemo tako, da dobimo optimalno vrednost teh spremenljivk.
- Izvedljiva regija: To je območje v grafu, kjer so omejitve izpolnjene in se odločitvene spremenljivke nahajajo na vogalih območja.
- Optimalna rešitev: Najboljša možna rešitev, ki zadosti vsem omejitvam in doseže najvišji ali najnižji cilj.
- Neizvedljiva rešitev: Rešitev, ki krši eno ali več omejitev in je ni mogoče implementirati ali izvesti.
Ciljna funkcija v linearnem programiranju
V linearnem programiranju je ciljna funkcija linearna funkcija, ki vsebuje dve odločitveni spremenljivki. Je linearna funkcija, ki jo je treba povečati ali zmanjšati, odvisno od omejitev. Če sta a in b konstanti ter sta x in y odločitveni spremenljivki, kjer sta x> 0 in y> 0, potem je ciljna funkcija
Z = sekira + stran
Torej, da bi dobili optimalno vrednost funkcije optimizacije, moramo najprej rešiti omejitve s katero koli tehniko in poiskati odločitvene spremenljivke. Nato vrednosti spremenljivk Decision vnesemo v funkcijo Objective, da ustvarimo optimalno vrednost.
Oblikovanje ciljne funkcije
Pri linearnem programiranju gre za iskanje optimalnih vrednosti odločitvenih spremenljivk in vnašanje teh vrednosti v ciljno funkcijo, da se ustvari največja ali najmanjša vrednost. Za reševanje linearnega programiranja obstaja veliko tehnik, kot sta Simplex metoda in grafična metoda. Vendar je grafična metoda zaradi svoje preprostosti običajno prednostna. Koraki za pridobitev optimalnih vrednosti ciljne funkcije so naslednji:
- Iz problema ustvarite enačbe omejitev in ciljno funkcijo.
- Na graf narišite enačbe omejitev.
- Zdaj določite izvedljivo regijo, kjer so omejitve izpolnjene.
- Ustvarite vrednosti spremenljivk odločitve, ki se nahajajo na vogalih izvedljive regije.
- Vse ustvarjene vrednosti dajte v funkcijo cilja in ustvarite optimalno vrednost.
Pogosti tipi ciljnih funkcij
Obstajata dve vrsti objektivnih funkcij.
- Funkcija maksimiziranja cilja
- Minimizacija Ciljna funkcija
O teh dveh vrstah se podrobneje pogovorimo na naslednji način:
Funkcija maksimiziranja cilja
Pri tej vrsti običajno težimo k maksimiranju ciljne funkcije. Točke, ki jih najdemo po grafiranju omejitev, težijo k ustvarjanju največje vrednosti ciljne funkcije. Naj ponazorimo s pomočjo primera
Primer: Človek vloži največ 8 ur časa v izdelavo denarnic in šolskih torb. 2 uri vloži v izdelavo denarnic in 4 ure v šolske torbe. Njegov cilj je izdelati največ 5 denarnic in šolskih torb ter jih želi prodati in ustvariti dobiček v višini 20 Rs za denarnico in 100 Rs za šolsko torbo. Poiščite ciljno funkcijo.
rešitev:
Naj bo x število rotijev in y število kruhov.
Človek lahko vloži največ 8 ur, tako da 2 uri vloži v izdelavo denarnice in 4 ure v izdelavo šolske torbe. Zato je prva omejitvena enačba
2x + 4y ⩽ 8
⇒ x + 2y ⩽ 4
Največje število, ki ga lahko naredi, je 5
x+y ⩽ 5
Naj bo ciljna funkcija označena z Z
Zato je Z = 20x + 100y
zasebna proti javni java
Minimizacija Ciljna funkcija
Pri tej vrsti običajno želimo zmanjšati ciljno funkcijo. Točke, ki jih najdemo po grafiranju omejitev, težijo k ustvarjanju najmanjše vrednosti ciljne funkcije. Naj ponazorimo s pomočjo primera
Primer: podana je vsota obeh spremenljivk vsaj 20. Podana je ena spremenljivka večja od enake 9. Izpeljite ciljno funkcijo, če je strošek ene spremenljivke 2 enoti in strošek druge spremenljivke 9 enot.
rešitev:
Naj sta x in y dve spremenljivki. Dana vsota obeh spremenljivk mora biti vsaj 20.
x+y ⩾ 20
in x ⩾ 9
Zgornji dve neenakosti sta omejitvi za naslednjo ciljno funkcijo.
Naj bo ciljna funkcija označena z Z. Zato je Z
Z = 2x + 9y
Matematična predstavitev ciljne funkcije
Kot smo razpravljali o funkciji cilja v kontekstu linearnega programiranja, je lahko funkcija cilja tudi nelinearna.
- Linearne ciljne funkcije: Pri tej vrsti ciljne funkcije so tako omejitve kot ciljne funkcije linearne narave. Eksponenti spremenljivk so 1.
- Nelinearne ciljne funkcije: Pri tej vrsti ciljne funkcije so tako omejitve kot ciljne funkcije linearne narave. Eksponenti spremenljivk so 1 ali večji od 1.
Uporaba objektivnih funkcij
Objektivne funkcije so pomembne v scenarijih resničnega življenja. Te funkcije na primer uporabljajo poslovneži. Poslovneži ga uporabljajo za čim večji dobiček. Ciljne funkcije so uporabne tudi za težave s transportom. Z nastavitvijo funkcije je mogoče analizirati, kolikšna je poraba goriva in kako lahko uporabnik ustrezno zniža cene le-tega. Objektivne funkcije so uporabne tudi pri težavah z razdaljo.
Rešene naloge o objektivni funkciji
Problem 1: Oseba želi nekaj pasov in denarnic. Skupno ima prihrankov 6000 Rs in želi vse svoje prihranke porabiti za nakup pasov in denarnic, da jih bo lahko pozneje prodal. Vrednost denarnice je 20 Rs, vrednost pasu pa 10 Rs. Hraniti jih želi v omari, največja zmogljivost omare pa je 50 enot. Pričakuje dobiček v višini 2 Rs na pasu in 3 Rs na denarnici. Poiščite omejitve in posledično ciljno funkcijo.
rešitev:
Naj bo x število denarnic, ki jih je treba kupiti, y pa število pasov, ki jih je treba kupiti. Upoštevati je treba, da moramo vsakič, ko je v problemu omenjen maksimum, uporabiti »⩽« za iskanje omejitev
Največja naložba je 6000 Rs. Prva omejitvena enačba je
20x+10y⩽6000
Maksimalna zmogljivost shranjevanja omare je 50
x+y⩽50
Tu je funkcija dobička v bistvu funkcija cilja. Naj bo to označeno s P. Zato je profitna funkcija
P = 3x + 2y
2. naloga: Identificiraj omejitvene enačbe in ciljno funkcijo iz podane množice
- 2x + 3y ⩾ 50
- x + y ⩽ 50
- 5x + 4y ⩽ 40
- Z = 7x + 8y
Kjer sta x in y večja od 0.
rešitev:
Omejitve so lahko neenakost ali oblika neenakosti. Toda ciljna funkcija ima vedno simbol enakosti
Zato so enačbe omejitev
2x + 3y ⩾ 50
x + y ⩽ 50
5x + 4y ⩽ 40
Objektivna enačba je Z = 7x + 8y
Problem 3: Ženska vloži največ 7 ur časa v pripravo rotisa in kruha. Vloži 2 uri na rotis in 4 ure na kruh. Njen cilj je izdelati največ 20 kruhov in rotijev ter jih želi prodati in ustvariti dobiček v višini 2 Rs z rotiji in 1 Rs s kruhom. Poiščite ciljno funkcijo.
rešitev:
Naj bo x število rotijev in y število kruhov.
Ženska lahko vloži največ 7 ur, in sicer 2 uri za pripravo rotija in 4 ure za pripravo kruha. Zato je prva omejitvena enačba
2x + 4y ⩽ 7
Največje število kruhov in rotijev, ki jih lahko naredi, je 20
x + y ⩽ 20
Naj bo ciljna funkcija označena z Z
Zato je Z = 2x + y.
Problem 4: Podjetje želi izdelati izdelek A in izdelek B. Izdelek A zahteva 4 enote kakava v prahu in 1 enoto mleka v prahu. Izdelek B zahteva 3 enote kakava v prahu in 2 enoti mleka v prahu. Na voljo je 87 enot kakava v prahu in 45 enot mleka v prahu. Dobiček za vsak izdelek je 3 $ oziroma 5 $. Poiščite ciljno funkcijo.
rešitev:
Naj x označuje število izdelkov A, y pa število elementov vrste B.
Največja količina kakava v prahu je 87 enot. Prva omejitvena enačba je torej
4x + 3y ⩽ 87
Največja razpoložljiva količina mleka v prahu je 45 enot. Druga enačba omejitve je torej
x + 2y ⩽ 45
Tu je naš cilj čim večji dobiček. Naša funkcija dobička je torej funkcija cilja. Označimo ga z Z
Z = 3x + 5y
Problem 5: Ustvariti je treba dve vrsti živilskih paketov A in B, ki vsebujeta vitamine. Na voljo mora biti vsaj 45 enot paketa hrane A, proizvodnja obeh paketov hrane pa mora biti vsaj 30. Generirajte ciljno funkcijo, ki jo je treba generirati, pri čemer ima paket hrane A 6 enot vitaminov, paket hrane B pa 8 enot. .
rešitev:
Naj bo x število paketov hrane A in y število paketov hrane B
Na voljo naj bo vsaj 45 paketov hrane. Zato je prva omejitvena enačba
x ⩾ 45
Druga omejitvena enačba je
x + y ⩾ 30
Ciljna funkcija je naslednja:
Z = 6x + 8y
Pogosta vprašanja o objektivni funkciji
V1: Kaj je funkcija cilja v problemu linearnega programiranja?
odgovor:
Ciljna funkcija je funkcija z realnimi vrednostmi, ki jo je treba povečati ali zmanjšati, odvisno od omejitev. Vsebuje dve odločitveni spremenljivki.
V2: Kaj je cilj ciljne funkcije?
odgovor:
Namen ciljne funkcije je maksimizirati ali minimizirati rezultantno vrednost. To je enačba, ki je izražena z odločitvenimi spremenljivkami in igra ključno vlogo v linearnem programiranju.
V3: Kako razumemo, ali je treba funkcijo povečati ali zmanjšati?
odgovor:
Če želite preveriti, ali naj bo funkcija maksimirana ali ne, bi morali poznati izraze, kot sta 'največ', 'vsaj'. Če je izraz „vsaj“ pod vprašajem, je treba ciljno funkcijo minimizirati. Za izraz 'največ' je treba funkcijo maksimizirati.
V4: Poimenujte pogoste vrste ciljnih funkcij.
odgovor:
Obstajata dve vrsti ciljnih funkcij:
- Funkcija cilja maksimiranja
- Minimizacija Ciljna funkcija
V5: Kakšne so aplikacije objektivne funkcije?
odgovor:
Obstajajo različne uporabe funkcije Objective. Uporabni so v scenarijih resničnega življenja. V bistvu se uporabljajo za oceno dobička ali izgube v vsakem primeru. Objektivne funkcije so uporabne pri težavah s prevozom, težavah s časovnimi omejitvami itd.