Zakon popolne verjetnosti je pomemben za ugotavljanje verjetnosti, da se dogodek zgodi. Če je znano, da je verjetnost, da se bo dogodek zgodil, 1, potem je za nemogoč dogodek verjetno 0. Temeljno pravilo v teoriji verjetnosti, ki je med seboj povezano z mejno verjetnostjo in pogojna verjetnost se imenuje zakon popolne verjetnosti ali izrek popolne verjetnosti.

Po več dogodkih je znano, da bi morala biti znana verjetnost vseh možnosti. The izrek popolne verjetnosti je temelj Bayejevega izreka. V tem članku smo razpravljali o pomembnih konceptih, povezanih s skupno verjetnostjo, vključno z zakon popolne verjetnosti , izjave, dokazila in nekaj primerov.

Zakon popolne verjetnosti

Za n med seboj izključujočih se dogodkov A1, A2, …Ak, tako da je njihova vsota verjetnosti enota in je njihova unija prostor dogodkov E, potem je Ai ∩ Aj= NULL, za vse I ni enako j, in

A1 U A2 U ... U Ak = E>

Potem je Teorem popolne verjetnosti ali zakon popolne verjetnosti, je: kjer je B poljuben dogodek, P(B/Ai) pa je pogojna verjetnost B ob predpostavki, da se je A že zgodil.

Dokaz izreka popolne verjetnosti

Naj bodo A1, A2, …, Ak nepovezani dogodki, ki tvorijo particijo vzorčnega prostora, in predpostavimo, da je P(Ai)> 0, za i = 1, 2, 3….k, tako da:

A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>

Potem imamo za vsak dogodek B,

B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>

Kot presečišče in zveza sta razdelitvena. zato

B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>

Ker so vse te particije ločene. Torej, imamo,

P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>

To je adicijski izrek verjetnosti za unijo disjunktnih dogodkov. Uporaba pogojne verjetnosti

P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>

Ali po pravilu množenja,

P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>

Tu velja, da sta dogodka A in B neodvisna dogodka, če je P(B|A) = P(B), kjer P(A) ni enak nič(0),

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>

kjer je P(B|A) pogojna verjetnost, ki podaja verjetnost pojava dogodka B, ko se dogodek A že zgodi. torej

kako brati iz datoteke csv v javi

P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>

Z uporabo tega zgornjega pravila dobimo,

To je zakon popolne verjetnosti . Zakon popolne verjetnosti se imenuje tudi izrek o popolni verjetnosti ali zakon alternativ.

Opomba:

Zakon popolne verjetnosti se uporablja, ko ne poznate verjetnosti dogodka, poznate pa njegovo pojavnost v več ločenih scenarijih in verjetnost vsakega scenarija.

Uporaba izreka popolne verjetnosti

Uporablja se za vrednotenje imenovalca v Bayesov izrek . Bayesov izrek za n množico dogodkov je opredeljen kot

Naj E₁, IN₂,…, IN_nniz dogodkov, povezanih z vzorčnim prostorom S, v katerem so vsi dogodki E₁, IN₂,…, IN_nimajo različno verjetnost pojava. Vsi dogodki E₁, IN₂,…, E tvorijo particijo S. Naj bo A dogodek iz prostora S, za katerega moramo najti verjetnost, potem je po Bayesovem izreku

P(E _jaz |A) = P(E _jaz )P(A|E _jaz ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

za k = 1, 2, 3, …., n

Primer

1. Iz kompleta premešanih kart z zamenjavo potegnemo dve karti. Poiščite verjetnost, da dobite drugo karto kralja.

Pojasnilo: - Naj, A – predstavlja dogodek, ko prva karta dobi kralja. B – predstavlja dogodek, ko prva karta ni kralj. E – predstavlja dogodek, ko je druga karta kralj. Potem bo verjetnost, da bo druga karta kralj ali ne, predstavljena z zakonom popolne verjetnosti kot:

java int za podvojitev

 P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>

Kjer je P(E) verjetnost, da je druga karta kralj, P(A) verjetnost, da je prva karta kralj, P(E|A) verjetnost, da je druga karta kralj, glede na to prva karta je kralj, P(B) je verjetnost, da prva karta ni kralj, P(E|B) je verjetnost, da je druga karta kralj, vendar prva izvlečena karta ni kralj. Glede na vprašanje:

P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>

zato

P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>

Pogosta vprašanja o zakonu popolne verjetnosti

V.1: Kakšna je uporaba skupne verjetnosti?

odgovor:

Zakon popolne verjetnosti se uporablja za izračun verjetnosti dogodka glede na poljubno število povezanih dogodkov. Uporaba Bayejevega izreka za posodobitev verjetnosti hipoteze glede na nove dokaze.

V.2: Ali je skupna verjetnost vedno 1?

odgovor:

Vsota verjetnosti vseh dogodkov je vedno 1.

V.3: Ali je lahko skupna verjetnost večja od 1?

odgovor:

Ne, skupna verjetnost ne more biti večja od 1.