Pravila za logaritem ali pravila za dnevnik so kritična za poenostavitev zapletenih formulacij, ki vključujejo logaritemske funkcije. Log Rules olajšajo računanje in obdelavo logaritmov v različnih matematičnih in znanstvenih aplikacijah. Od vseh teh pravil dnevnika so tri najpogostejša pravilo produkta, pravilo količnika in pravilo moči. Razen teh imamo še veliko pravil logaritma, o katerih bomo razpravljali naprej v članku. Ta članek podrobno raziskuje vsa pravila za dnevnike, vključno z izpeljanko in integralom, s primeri pravil za logaritem. Torej, začnimo se učiti o vseh pravilih, ki jih imajo logaritmi.

Kazalo

• Kaj so pravila dnevnika?
• Vrste logaritmov
• Seznam pravil za logaritem
• Pravila naravnega dnevnika
• Uporaba logaritma
• Produktno pravilo logaritmov
• Logaritem Power Rule
• Pravilo kvocienta logaritmov
• Rešeni primeri Log Rules
• Vprašanja za vadbo o pravilih dnevnika

Kaj so pravila dnevnika?

Logaritemska pravila v matematiki so pravila in zakoni, ki se uporabljajo pri poenostavitvi in ​​manipulaciji izrazov logaritemske funkcije. Ta načela ustvarjajo razmerja med eksponentnimi in logaritemskimi oblikami ter dajejo sistematično tehniko za obdelavo zapletenih logaritemskih izračunov.

Ključna pravila so naslednja: pravilo izdelka : ki nam omogoča, da produkt znotraj logaritma razdelimo na vsoto ločenih logaritmov; pravilo kvocienta : ki nam omogoča, da količnik znotraj logaritma razdelimo na razliko logaritmov; pravilo moči: ki nam omogoča ekstrahiranje eksponentov znotraj logaritma; osnovno pravilo zamenjave ali sprememba osnovnega pravila : kar nam omogoča spreminjanje osnove logaritma.

Ti zakoni so ključni v mnogih matematičnih in znanstvenih aplikacijah, zaradi česar so logaritmi dragoceno orodje za reševanje enačb, modeliranje eksponentne rasti in analizo velikih količin podatkov.

Vrste logaritmov

Običajno imamo opravka z dvema vrstama logaritmov:

• Navadni logaritem
• Naravni logaritem

Opomba: Logaritem je lahko s poljubnim realnim številom kot osnovo, vendar sta ta dva, tj. navadni in naravni logaritem, najpogostejša in standardna.

O teh vrstah se podrobneje pogovorimo.

Navadni logaritem

Običajni logaritem, pogosto znan kot log z osnovo 10 ali preprosto log, je matematična funkcija, ki predstavlja eksponent, na katerega je treba povečati dano število, da dosežemo dano število. Izračuna potenco števila deset, ki je potrebna, da dobimo določeno število.

Na primer dnevnik₁₀(100) je enako 2, ker je 10, povečano na potenco 2, enako 100. Skupni logaritem 100 v tem primeru je 2, kar kaže, da je 10²= 100. Običajni logaritmi se uporabljajo v številnih sektorjih, vključno z znanostjo, tehniko in financami, za poenostavitev predstavitve ogromnih števil in pomoč pri izračunih, ki zahtevajo potenco števila 10.

Naravni logaritem

Naravni logaritem je matematična funkcija, ki izraža logaritem z osnovo 'e' (Eulerjevo število, približno 2,71828). Je inverzna eksponentni funkciji in predstavlja količino časa, ki je potreben, da se količina poveča ali zmanjša za konstanten faktor.

Na primer, ln (10) ≈ 2,30259 pomeni, da je e, pomnožen z 2,30259, enak 10. Naravni logaritem se uporablja na številnih področjih, vključno z matematiko, fiziko in financami, za opis pojavov, ki kažejo eksponentno rast ali upad, kot je širjenje prebivalstva, radioaktivni razpad in izračuni obrestnih mer.

Kaj so logaritemska pravila?

Logaritemske operacije se lahko izvajajo po posebnih pravilih. Ta pravila so znana kot:

• Pravilo izdelka
• Pravilo kvocienta
• Ničelno pravilo
• Pravilo identitete
• Power Rule ali eksponentno pravilo
• Sprememba osnovnega pravila
• Recipročno pravilo

Poleg teh splošnih pravil imamo lahko tudi nekaj neobičajnih pravil, kot so:

• Inverzna lastnost logaritma
• Izpeljanka iz Log
• Integracija Log

Product Rule of Log

Po pravilu produkta je logaritem produkta vsota logaritmov njegovih elementov.

Formula: dnevnik_a(XY) = log_aX + log_aIN

primer: dnevnik₂(3 × 5) = log₂(3) + log₂(5)

Pravilo kvocienta loga

Pravilo kvocienta trdi, da je logaritem količnika enak razliki logaritmov števca in imenovalca.

Formula: dnevnik_a(X/Y) = log_aX – log_aIN

primer: dnevnik₃(9/3) = log₃(9) – dnevnik₃(3)

Ničelno pravilo dnevnika

Po ničelnem pravilu je logaritem 1 na katero koli osnovo vedno enak 0.

Formula: dnevnik_a(1) = 0

primer: dnevnik₄(1) = 0

Identitetno pravilo dnevnika

V skladu s pravilom identitete je logaritem baze same sebi vedno 1.

Formula: dnevnik_a(a) = 1

primer: dnevnik₇(7) = 1

Recipročno pravilo

V skladu z recipročnim pravilom logaritmov je logaritem recipročne vrednosti števila (1 deljeno s tem številom) enak negativu logaritma prvotnega števila. V matematičnem zapisu:

formula: dnevnik_a(1/X) = – log_a(X)

primer: dnevnik_a(1/2) = – log_a(2)

Power Rule ali eksponentno pravilo log

V skladu s pravilom stopnje je logaritem števila, dvignjenega na eksponent, enak eksponentu, pomnoženemu z logaritmom osnove.

Formula: dnevnik_a(Xⁿ) = n × log_aX

primer: dnevnik₅(9²) = 2 × log₅(9)

Sprememba osnovnega pravila dnevnika

Pravilo spremembe osnove vam omogoča, da izračunate logaritem števila z drugo osnovo z uporabo običajnega logaritma (običajno z osnovo 10 ali osnovo e). Imenuje se tudi sprememba osnovnega pravila Pravilo osnovnega stikala.

Formula: dnevnik_a(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

primer: dnevnik₃(7) = dnevnik₁₀(7) / log₁₀(3)

Inverzna lastnost logaritma

Inverzna lastnost logaritma trdi, da izračun logaritma potencirane vrednosti daje prvotni eksponent.

Formula: dnevnik_a(aⁿ) = n

primer: log₄(4²) = 2

Izpeljanka iz Log

Odvod naravnega logaritma funkcije je recipročna vrednost funkcije, pomnožena z odvodom funkcije.

Formula: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

primer: Če je y = ln(x²), potem je dy/dx = 2x / x²= 2/x

Integracija Log

Poleg diferenciacije lahko izračunamo tudi integral logaritma. Integral funkcije Log je podan na naslednji način:

Formula: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Pravila naravnega dnevnika

Ker imata naravna in navadna polena le razliko v osnovi, so pravila za naravna polena enaka kot za navadna polena, o katerih smo že govorili. Edina razlika je v tem, da v pravilih naravnega loga namesto loga (simbol navadnega loga z osnovo 10) uporabljamo ln (simbol za naravni log z osnovo e). Ta pravila je mogoče navesti na naslednji način:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• v mⁿ= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• V 1 = 0
• je^{v x}= x

Uporaba logaritma

Oglejmo si nekaj aplikacij log.

• Za izračun kislosti in alkalnosti kemičnih raztopin uporabljamo logaritme.
• Za izračun jakosti potresa se uporablja Richterjeva lestvica.
• Količina hrupa se meri v decibelih (dB) na logaritemski skali.
• Logaritmi se uporabljajo za analizo eksponentnih procesov, kot je razpad razmerja aktivnih izotopov, razvoj bakterij, širjenje epidemije v populaciji in ohlajanje mrtvega trupla.
• Za izračun časa odplačevanja posojila se uporablja logaritem.
• Logaritem se uporablja v računstvu za razlikovanje zahtevnih enačb in izračun površine pod krivuljami.

Produktno pravilo logaritmov

V skladu s pravilom produkta za logaritme je logaritem množenja dveh členov enak seštevanju logaritmov teh posameznih členov. Z drugimi besedami, to pravilo je izraženo kot dnevnik_b(mn) = log_b(m) + log_b(n). Nadaljujmo z izpeljavo tega pravila.

Postopek izpeljave:

Začnimo s predpostavko dnevnika_b(m) = x in log_b(n) = y. Če oboje pretvorimo v njuni eksponentni obliki, dobimo:

dnevnik_b(m) = x pomeni m = b^x… (1)

dnevnik_b(n) = y implicira n = bⁱⁿ… (2)

Ko enačbi (1) in (2) pomnožimo skupaj,

mn = b^{x .}bⁱⁿ

Z uporabo pravil za množenje eksponentov,

mn = b^{x + y}

Pretvarjanje nazaj v logaritemsko obliko daje,

dnevnik_b(mn) = x + y

Z zamenjavo nazaj za x in y,

dnevnik_b(mn) = log_b(m) + log_b(n)

Tako smo izpeljali produktno pravilo logaritmov. To pravilo je mogoče uporabiti na različne načine, kot so:

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b Pomembno je omeniti, da pravilo produkta za logaritme ne velja za log (m + n), ki jih ni mogoče razdeliti na ločene logaritme. To pravilo se strogo nanaša na logaritem produkta, log(mn).

Logaritem Power Rule

Pravilo stopnje logaritma navaja, da ko argument logaritma dvignemo na potenco, lahko ta eksponent premaknemo na začetek logaritma. Z drugimi besedami, logb mn = n logb m. Raziščimo izpeljavo tega pravila.

Postopek izpeljave:

Začnite s predpostavko dnevnika_bm je enako x. Če to pretvorimo v eksponentno obliko, dobimo:

b^x= m

Nato dvignite obe strani na potenco števila n, kar ima za posledico:

10 milijonov

(b^x)ⁿ= mⁿ

Uporaba pravila eksponentne moči daje:

b^nx= mⁿ

Če pretvorimo nazaj v logaritemsko obliko, dobimo:

dnevnik_bmⁿ= nx

Z zamenjavo x z log_bm, pridemo do:

dnevnik_bmⁿ= n dnevnik_bm

S tem se zaključi izpeljava potenčnega pravila logaritma. Spodaj je nekaj primerov uporabe tega pravila:

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Pravilo kvocienta logaritmov

V skladu s pravilom kvocienta za logaritme je logaritem deljenja med dvema številoma odštevek logaritmov vsakega števila.

Natančneje, pravilo določa, da dnevnik_b(m/n) = log_bm – hlod_bn. Nadaljujmo z izpeljavo tega pravila.

Postopek izpeljave:

Recimo dnevnik_bm je enako x in log_bn je enako y. Te bomo izrazili v njihovih eksponentnih oblikah.

dnevnik_bm = x implicira m = b^x… (1)

dnevnik_bn = y implicira n = bⁱⁿ… (2)

Ko enačbo (1) delimo z enačbo (2),

m/n = b^x/ bⁱⁿ

Uporaba pravila količnika za eksponente,

m/n = b^x–y

Pretvarjanje nazaj v logaritemsko obliko,

dnevnik_b(m/n) = x – y

Z zamenjavo nazaj za x in y,

dnevnik_b(m/n) = log_bm – hlod_bn

Tako smo izpeljali pravilo kvocienta za logaritme. To pravilo je mogoče uporabiti na naslednji način:

log (y/3) = log y – log 3

hlod 25 = hlod (125/5) = hlod 125 – hlod 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

Pomembno je vedeti, da pravilo kvocienta ne pomeni ničesar za log (m – n).

Sorodne teme:

• Antilog tabela
• Log Kalkulator
• Naravni dnevnik
• Log tabela

Rešeni primeri Log Rules

Primer 1: Poenostavite dnevnik ₂ (4 × 8).

rešitev:

Z uporabo pravila produkta produkt razdelimo na vsoto logaritmov:

dnevnik₂(4 × 8) = log₂(4) + log₂(8) = 2 + 3 = 5.

Primer 2: Poenostavite dnevnik ₄ (16/2).

rešitev:

Z uporabo pravila kvocienta razdelimo količnik na razliko logaritmov:

dnevnik₄(16 / 2) = log₄(16) – dnevnik₄(2) = 2 – 0,5 = 1,5.

Primer 3: Poenostavite dnevnik ₅ (25 ³ ).

rešitev:

Z uporabo potenčnega pravila lahko znižamo eksponent kot koeficient:

dnevnik₅(25³) = 3 × log₅(25) = 3 × 2 = 6.

Primer 4: Pretvori dnevnik ₃ (7) v izraz z osnovo 10.

rešitev:

Z uporabo pravila zamenjave osnove delimo z logaritmom nove osnove:

dnevnik₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1,7712

Primer 5: Ocenite dnevnik ₇ (49) z uporabo pravila spremembe osnove z osnovo 2.

delna odvisnost

rešitev:

Uporaba spremembe osnovnega pravila z osnovo 2:

dnevnik₇(49) = dnevnik₂(49) / dnevnik₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (približno).

Vprašanja za vadbo o pravilih dnevnika

Problem 1: Poenostavite izraz: log₂(4) + log₂(8).

Problem 2: Poenostavljeno: log₅(25) – dnevnik₅(5).

Problem 3: Poenostavite izraz: log₃(9²).

Problem 4: Ekspresni dnevnik₄(25) v smislu navadnih logaritmov.

Problem 5: Poenostavite uporabo pravil dnevnika: log₇(49) + 2 log₇(3).

Problem 6: Reši za x: log₂(x) = 3.

Problem 7: Rešite za x: 2^{3x – 1}= 8.

Pravila dnevnika – pogosta vprašanja

Kaj so logaritemska pravila?

Logaritemska pravila so zbirka priporočil za manipulacijo in poenostavitev formul z uporabo logaritemskih funkcij. Ponujajo sistematično metodo za obravnavo zapletenih izračunov in interakcij med eksponentami in logaritmi.

Koliko ključnih pravil za logaritem obstaja?

Pravilo produkta, pravilo kvocienta, pravilo moči, pravilo zamenjave osnove in pravilo spremembe osnove so vsa glavna pravila logaritma. Ta načela dovoljujejo modifikacije in izračune logaritemskih izrazov.

Kaj je pravilo logaritemskega produkta?

Po pravilu produkta je logaritem produkta enak vsoti logaritmov posameznih faktorjev: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Kaj sta dve vrsti logaritmov?

Dve najpogosteje uporabljeni vrsti logaritmov sta:

• Navadni logaritem ali logaritem z osnovo 10
• Naravni logaritem ali osnovni logaritem

Kaj je pravilo dnevnika za spremembo osnove?

Glede na spremembo osnovnega pravila log, log_a(b)=[log_c(b)]/[log_c(a)], kjer je c poljubno pozitivno realno število.

Kaj je Log 0?

Logaritem ničle ni znan. Števila 0 nikoli ne pridobimo tako, da katero koli vrednost dvignemo na potenco katere koli druge vrednosti.

Kaj je dnevnik 1?

Zaradi ničelnega pravila je logaritem 1 na katero koli osnovo vedno enak 0, tj._a(1) = 0.

Kaj je logaritem katerega koli števila samemu sebi kot osnovi?

V skladu s pravilom identitete je logaritem osnove same sebi vedno 1, tj. log_a(a) = 1.

Kakšno je razmerje med logaritmi in eksponenti?

Logaritmi in eksponenti so inverzne operacije. Logaritem vam pove eksponent, ki je potreben, da dosežete določeno število, medtem ko eksponent dvigne osnovo na eksponent.

Kaj je 7 pravil logaritmov?

7 pravil logaritmov vključuje

• Pravilo izdelka
• Pravilo kvocienta
• Pravilo moči
• Sprememba osnovnih pravil
• Ničelno pravilo
• Pravilo identitete
• Negativno pravilo

Ta pravila se uporabljajo za poenostavitev logaritemskih izrazov.

Kaj je pravilo log eksponenta?

Pravilo log eksponenta pravi, da je log osnova b od a^xje enako x krat log osnove b od a, tj. log_ba^x= x log_ba.

Kakšna je ključna razlika med navadnim dnevnikom in naravnim dnevnikom?

Ključna razlika med navadnim in naravnim dnevnikom je v tem, da običajni dnevniki uporabljajo osnovo 10, medtem ko naravni dnevniki kot osnovo uporabljajo matematično konstanto 'e'.

Kaj je pravilo izpeljave za dnevnik?

Pravilo izpeljave za log funkcije je: d/dx[log_b(x)] = 1 / (x ln(b)), kjer je 'b' osnova logaritma.

Kaj je pravilo Base Switch?

V skladu s pravilom zamenjave osnove lahko osnovo katerega koli logaritma spremenite v katero koli drugo želeno osnovo z uporabo formule: loga(X) = logb(X) / logb(a).