2. pravilo

Če LHS in RHS izrazov zamenjamo, se neenakost obrne. Imenuje se obratna lastnost.

• Če je a> b, potem b
• Če a
• Če je a ≥ b, potem je b ≤ a
• Če je a ≤ b, potem je b ≥ a

3. pravilo

Če obema stranema neenakosti dodamo ali odštejemo isto konstanto k, potem sta obe strani neenakosti enaki.

• Če a> b, potem a + k> b + k
• Če je a> b, potem a – k> b – k

Podobno velja za druge neenakosti.

• Če
• Če
• Če je a ≤ b, potem je a + k ≤ b + k
• Če je a ≤ b, potem je a – k ≤ b – k
• Če je a ≥ b, potem je a + k ≥ b + k
• Če je a ≥ b, potem je a – k ≥ b – k

Smer neenačbe se po dodajanju ali odštevanju konstante ne spremeni.

Pravilo 4

Če je k pozitivna konstanta, ki je pomnožena ali deljena z obema stranema neenakosti, potem ni spremembe v smeri neenakosti.

• Če je a> b, potem je ak> bk
• Če
• Če je a ≤ b, potem je ak ≤ bk
• Če je a ≥ b, potem je ak ≥ bk

Če je k negativna konstanta, ki je pomnožena ali deljena z obema stranema neenakosti, potem se smer neenakosti obrne.

• Če je a> b, potem je ak
• Če je a> b, potem je ak
• Če je a ≥ b, potem je ak ≤ bk
• Če je a ≤ b, potem je ak ≥ bk

5. pravilo

Kvadrat poljubnega števila je vedno večji ali enak nič.

• a²≥ 0

Pravilo 6

Izvzemanje kvadratnih korenov na obeh straneh neenakosti ne spremeni smeri neenakosti.

• Če je a> b, potem je √a> √b
• Če
• Če je a ≥ b, potem je √a ≥ √b
• Če je a ≤ b, potem je √a ≤ √b

Graf za neenakosti

Neenačbe so bodisi z eno spremenljivko ali dvema ali pa imamo sistem neenačb, vse jih je mogoče prikazati v kartezični ravnini, če vsebuje samo dve spremenljivki. Neenakosti v eni spremenljivki so narisane na realnih premicah, dve spremenljivki pa na kartezični ravnini.

Intervalni zapis za neenačbe

Pomembne točke za pisanje intervalov za neenakosti:

• V primeru večjega in enakega ( ≥ ) ali manj kot enako ( ≤ ), so vključene končne vrednosti, zato so uporabljeni zaprti ali oglati oklepaji [ ].
• V primeru večjega od ( > ) ali manj kot ( < ), so končne vrednosti izključene, zato so uporabljeni odprti oklepaji ().
• Za pozitivno in negativno neskončnost se uporabljajo odprti oklepaji ().

Naslednja tabela predstavlja intervale za različne neenakosti:

Graf za linearne neenačbe z eno spremenljivko

Iz naslednje tabele lahko razumemo, kako na realno premico narisati različne linearne neenačbe z eno spremenljivko.

Neenakost	Interval	Graf
x> 1	(1, ∞)	Linearne neenačbe z eno spremenljivko
x <1	(-∞, 1)
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Graf za linearne neenačbe z dvema spremenljivkama

Vzemimo primer linearne neenakosti z dvema spremenljivkama.

Razmislite o linearni neenačbi 20x + 10y ≤ 60, saj so možne rešitve za dano neenakost (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0 ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1) ), (2,2), (3,0) in tudi vse točke izven teh točk so tudi rešitev neenačbe.

Iz danih rešitev narišimo graf.

Osenčeno območje na grafu predstavlja možne rešitve dane neenačbe.

Preberite tudi

• Grafično reševanje linearnih neenačb v dveh spremenljivkah

Vrste neenakosti

Obstaja več vrst neenakosti, ki jih lahko razvrstimo na naslednji način:

kako seznaniti slušalke beats

• Polinomske neenakosti: Polinomske neenačbe so neenačbe, ki jih lahko predstavimo v obliki polinomov. Primer - 2x + 3 ≤ 10.
• Neenakosti absolutnih vrednosti: Neenakosti absolutne vrednosti so neenakosti znotraj predznaka absolutne vrednosti. Primer - |y + 3| ≤ 4.
• Racionalne neenakosti: Racionalne neenačbe so neenačbe z ulomki skupaj s spremenljivkami. Primer- (x + 4) / (x – 5) <5.

Kako rešiti neenačbe

Za rešitev neenakosti lahko uporabimo naslednje korake:

• Korak 1: Neenačbo zapiši v obliki enačbe.
• 2. korak: Reši enačbo in poišči korene neenačb.
• 3. korak: Dobljene vrednosti predstavi na številski premici.
• 4. korak: Predstavi izključene vrednosti tudi na številski premici z odprtimi krogi.
• 5. korak: Poiščite intervale s številske premice.
• 6. korak: Vzemite naključno vrednost iz vsakega intervala in vnesite te vrednosti v neenakost ter preverite, ali izpolnjuje neenakost.
• 7. korak: Rešitev neenačbe so intervali, ki neenačbi zadostijo.

Kako rešiti polinomske neenačbe

Polinomske neenačbe vključujejo linearne neenačbe, kvadratne neenačbe, kubične neenačbe itd. Tu se bomo naučili reševati linearne in kvadratne neenačbe.

Reševanje linearnih neenačb

Linearne neenačbe je mogoče rešiti kot linearne enačbe, vendar v skladu s pravilom neenakosti. Linearne neenakosti je mogoče rešiti z uporabo preprostih algebrskih operacij.

Eno- ali dvostopenjske neenakosti

Enostopenjska neenačba je neenakost, ki jo je mogoče rešiti v enem koraku.

Primer: Reši: 5x <10

rešitev:

⇒ 5x <10 [Obe strani delimo s 5]

⇒ x <2 ali (-∞, 2)

Dvostopenjska neenačba je neenačba, ki jo je mogoče rešiti v dveh korakih.

Primer: Reši: 4x + 2 ≥ 10

rešitev:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [odštevanje 2 od obeh strani]

⇒ 4x ≥ 8 [Obe strani delimo s 4]

⇒ x ≥ 2 ali [2, ∞)

Sestavljene neenakosti

Sestavljene neenačbe so neenačbe, ki imajo več neenakosti, ločenih z in ali ali. Za reševanje sestavljenih neenačb rešujte neenačbe ločeno, za končno rešitev pa izvedite presek dobljenih rešitev, če so neenačbe ločene z in ter izvedite združevanje dobljenih rešitev, če so neenačbe ločene z ali.

Primer: Reši: 4x + 6 <10 in 5x + 2 < 12

rešitev:

Najprej reši 4x + 6 <10

⇒ 4x + 6 <10 [odštevanje 6 z obeh strani]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 ali (-∞, 1) —–(i)

Drugo reši 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [odštevanje 2 z obeh strani]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 ali (-∞, 2) ——-(ii)

Iz (i) in (ii) imamo dve rešitvi x <1 in x < 2.

Za končno rešitev vzamemo presečišče, saj sta neenačbi ločeni z in.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

Končna rešitev dane sestavljene neenačbe je (-∞, 1).

Preberi več

• Sestavljene neenakosti
• Besedne naloge linearnih neenačb
• Neenakost trikotnika

Reši kvadratne neenačbe

Vzemimo primer za reševanje neenakosti absolutnih vrednosti.

Primer: Rešite neenačbo: x ² – 7x + 6 ≥ 0

rešitev:

Sledijo koraki za rešitev neenakosti: x²– 7x + 6 ≥ 0

Korak 1: Neenakost zapiši v obliki enačbe:

x²– 7x + 6 = 0

2. korak: Reši enačbo:

x²– 7x + 6 = 0

x²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1(x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 in x = 1

Iz zgornjega koraka dobimo vrednosti x = 6 in x = 1

3. korak: Od zgornjih vrednosti so intervali (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Ker je neenakost ≥, ki vključuje enako, zato za dobljene vrednosti uporabimo zaprt oklepaj.

4. korak: Predstavitev zgornjih intervalov v številski vrstici.

5. korak: Vzemite naključna števila med posameznimi intervali in preverite, ali ustreza vrednosti. Če ustreza, potem v rešitev vključi interval.

Za interval (-∞, 1] naj bo naključna vrednost -1.

Vstavimo x = -1 v neenakost x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (res)

Za interval [1, 6] naj bo naključna vrednost 2.

Če v neenačbo x postavimo x = 0²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (False)

Za interval [6, ∞) naj bo naključna vrednost 7.

Vstavimo x = 7 v neenakost x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (res)

6. korak: Torej, rešitev za neenakost absolutne vrednosti x²– 7x + 6 ≥ 0 je interval (-∞, 1] ∪ [6, ∞), saj izpolnjuje neenakost, ki jo lahko na številsko premico narišemo kot:

Kako rešiti neenakosti absolutnih vrednosti

Vzemimo primer za reševanje neenakosti absolutnih vrednosti.

Primer: Rešite neenačbo: |y + 1| ≤ 2

rešitev:

Sledijo koraki za rešitev neenačbe: |y + 1| ≤ 2

Korak 1: Neenakost zapiši v obliki enačbe:

|y + 1| = 2

2. korak: Reši enačbo:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 in y + 1 = – 2

y = 1 in y = -3

Iz zgornjega koraka dobimo vrednosti y = 1 in y = -3

3. korak: Od zgornjih vrednosti so intervali (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Ker je neenakost ≤, ki vključuje enako, zato za dobljene vrednosti uporabimo zaprt oklepaj.

4. korak: Predstavitev zgornjih intervalov v številski vrstici.

5. korak: Vzemite naključna števila med posameznimi intervali in preverite, ali ustreza vrednosti. Če ustreza, potem v rešitev vključi interval.

Za interval (-∞, -3] naj bo naključna vrednost -4.

Če v neenačbo postavimo y = -4 |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (False)

Za interval [-3, 1] naj bo naključna vrednost 0.

Če v neenačbo postavimo y = 0 |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (res)

strint v notr

Za interval [1, ∞) naj bo naključna vrednost 2.

Vstavimo y = 2 v neenakost |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (False)

6. korak: Torej, rešitev za neenakost absolutne vrednosti |y + 1| ≤ 2 je interval [-3, -1], saj izpolnjuje neenakost, ki jo lahko na številsko premico narišemo kot:

Kako rešiti racionalne neenakosti

Vzemimo primer za reševanje racionalnih neenakosti.

Primer: Rešite neenačbo: (x + 3) / (x – 1) <2

rešitev:

Sledijo koraki za rešitev neenakosti:

Korak 1: Neenakost zapiši v obliki enačbe: (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

2. korak: Reši enačbo:

(x + 3) / (x – 1) = 2

(x + 3) = 2(x – 1)

x + 3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

Iz zgornjega koraka dobimo vrednost x = 5

3. korak: Od zgornjih vrednosti so intervali (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Ker je neenakost

Ker je za x = 1 neenakost nedefinirana, vzamemo oklepaj za x = 1.

4. korak: Predstavitev zgornjih intervalov v številski vrstici.

5. korak: Vzemite naključna števila med posameznimi intervali in preverite, ali ustreza vrednosti. Če ustreza, potem v rešitev vključi interval.

Za interval (-∞, 1) naj bo naključna vrednost 0.

Postavitev x = 0 v neenačbo (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (Res)

Za interval (1, 5) naj bo naključna vrednost 2.

Postavitev x = 3 v neenakost (x + 3) / (x – 1) <2

drugače če java

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6 / 2 <2

⇒ 3 <2 (False)

Za interval (5, ∞) naj bo naključna vrednost 2.

Če y = 6 postavimo v neenakost (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (Res)

6. korak: Torej, rešitev za neenakost absolutne vrednosti (x + 3) / (x – 1) <2 je interval (-∞, 1) ∪ (5, ∞), saj zadovoljuje neenakost, ki jo lahko na številsko premico narišemo kot:

Kako rešiti linearno neenakost z dvema spremenljivkama

Vzemimo primer za reševanje linearne neenačbe z dvema spremenljivkama.

primer: Rešite: 20x + 10y ≤ 60

rešitev:

Upoštevajte x = 0 in ga vnesite v dano neenakost

⇒ 20x + 10y ≤ 60

⇒ 20(0) + 10y ≤ 60

⇒ 10 let ≤ 60

⇒ in ≤ 6 ——(i)

Zdaj, ko je x = 0, je lahko y od 0 do 6.

Podobno vnesite vrednosti v neenakost in preverite, ali izpolnjuje neenakost.

Za x = 1 je lahko y od 0 do 4.

Za x = 2 je lahko y od 0 do 2.

Za x = 3 je lahko y 0.

Možna rešitev za dano neenakost je (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Sistemi neenakosti

Sistemi neenačb so množice dveh ali več neenačb z eno ali več spremenljivkami. Sistemi neenačb vsebujejo več neenačb z eno ali več spremenljivkami.

Sistem neenačb ima obliko:

a_enajstx₁+ a₁₂x₂+ a₁₃x₃…….. + a_1nx_{n 1}

a_enaindvajsetx₁+ a₂₂x₂+ a₂₃x₃…….. + a_2nx_{n 2}

a_n1x₁+ a_n2x₂+ a_n3x₃…….. + a_nnx_{n n}

Grafični prikaz sistemov neenačb

Sistem neenačb je skupina večkratnih neenačb. Najprej rešite vsako neenačbo in za vsako neenačbo narišite graf. Presečišče grafa vseh neenačb predstavlja graf za sisteme neenačb.

Razmislite o primeru,

Primer: Narišite graf za sisteme neenakosti

• 2x + 3y ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

rešitev:

Graf za 2x + 3y ≤ 6

Osenčeno območje grafa predstavlja 2x + 3y ≤ 6

Graf za x ≤ 3

Osenčeno območje predstavlja x ≤ 3

Graf za y ≤ 2

Osenčeno območje predstavlja y ≤ 2

Graf za dani sistem neenačb

Osenčeno območje predstavlja dani sistem neenakosti.

Neenakosti – pogosta vprašanja

Kaj je koncept neenakosti?

Neenakosti so matematični izrazi, v katerih LHS in RHS izraza nista enaka.

Kateri so simboli za neenakosti?

Simboli neenačb so:>, <, ≥, ≤ in ≠.

Kaj je tranzitivna lastnost neenakosti?

Tranzitivna lastnost neenakosti pravi, da če so a, b, c tri števila,

• Če je a> b in b> c, potem je a> c
• Če
• Če je a ≥ b in b ≥ c, potem je a ≥ c
• Če je a ≤ b in b ≤ c, potem je a ≤ c