Implikativno izjavo je mogoče predstaviti v obliki 'če ... potem'. Simbol ⇒ se uporablja za prikaz implikacije. Recimo, da obstajata dve izjavi, P in Q. V tem primeru lahko izjavo 'če je P, potem Q' zapišemo tudi kot P ⇒ Q ali P → Q in jo bomo prebrali kot 'P implicira Q'. V tej implikaciji je izjava P hipoteza, ki je znana tudi kot premisa in antecedent, izjava Q pa sklep, ki je znan tudi kot posledica.
Implikacija ima tudi pomembno vlogo v logičnem argumentu. Če je znano, da je implikacija izjav resnična, mora biti vedno, ko je izpolnjena premisa, resničen tudi sklep. Zaradi tega razloga je implikacija znana tudi kot pogojna izjava.
Nekaj primerov posledic je opisanih takole:
kaj je poseben znak
- 'Če bo vreme v GOA sončno, bomo šli na plažo'.
- 'Če ima klub sistem popustov, potem bomo šli v ta klub.'
- 'Če je med odhodom na plažo sončno, potem bomo porjaveli'.
Logično implikacijo je mogoče izraziti na različne načine, ki so opisani na naslednji način:
- Če p potem q
- Če je p, q
- q ko p
- Q samo, če P
- q razen če ~p
- q kadarkoli p
- p je zadosten pogoj za q
- q sledite str
- p pomeni q
- Nujen pogoj za p je q
- q če str
- q je potreben za p
- p je nujen pogoj za q
Zdaj bomo opisali primere vseh zgoraj opisanih implikacij s pomočjo premise P in zaključka Q. Za to bomo predpostavili, da je P = Sončno je in Q = šel bom na plažo.
P ⇒ Q
- ČE bo sončno, bom šel na plažo
- ČE bo sončno, bom šel na plažo
- Na plažo bom šel, KO bo sončno
- Na plažo bom šel SAMO ČE bo sončno
- Šla bom na plažo, RAZEN ČE ne bo sončno
- Šla bom na plažo, KADAR bo sončno
- Sončno je, JE ZADOSTEN POGOJ, da bom šel na plažo
- Šla bom na plažo SLEDI, sončno je
- Sončno je, kar pomeni, da bom šel na plažo
- NUJEN POGOJ, DA je sončno, bom šel na plažo
- Grem na plažo, ČE bo sončno
- Šla bom na plažo, JE NUJNO, ker je sončno
- Sončno je JE NUJEN POGOJ ZA ŠLA bom na plažo
Če obstaja pogojna izjava 'če je p, potem q', potem bo ta izjava P ⇒ Q napačna, če je premisa p resnična in je sklep q napačen. V vseh drugih primerih to pomeni, da je p napačen ali Q resničen, bo izjava P ⇒ Q resnična. To izjavo lahko predstavimo s pomočjo tabele resnic, v kateri bo napačno predstavljeno s F, resnično pa bo predstavljeno s T. Tabela resnic izjave 'če je P, potem Q' je opisana takole:
| p | Q | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Ni nujno, da so premise in sklep med seboj povezani. Na podlagi formulacije P in Q je interpretacija tabele resnic odvisna.
Na primer:
- Če je Jack izdelan iz plastike, potem je Ocean zelen.
- Izjava: Jack je narejen iz plastike
- Trditev: Ocean je zelen
Zgornji dve trditvi nimata smisla, ker je Jack človek in nikoli ne more biti iz plastike, druga izjava pa Ocean je zelen se ne bo nikoli zgodila, ker je ocean vedno moder in barve Oceana ni mogoče spremeniti. Kot lahko vidimo, obe trditvi nista med seboj povezani. Po drugi strani pa velja tabela resnic za trditev P ⇒ Q. Torej ni vprašanje, ali je tabela resnic pravilna ali ne, ampak je vprašanje domišljije in interpretacije.
Torej v P ⇒ Q ne potrebujemo nobene vrste povezave med premiso in posledico. Od prave vrednosti P in Q je odvisen samo pomen le teh.
Tudi te izjave bodo napačne, tudi če obe trditvi upoštevamo za naš svet, torej
False ⇒ False
Torej, ko pogledamo zgornjo tabelo resnic, vidimo, da je P ⇒ Q res, ko je P napačen in Q napačen.
Torej, če je Jack narejen iz plastike, bo Ocean zelen.
Vendar pa bosta premisa p in sklep q povezana in obe izjavi sta smiselni.
Dvoumnost
V implicitnem operatorju lahko pride do dvoumnosti. Torej, ko uporabljamo operater imply (⇒), bi morali v tem trenutku uporabiti oklepaj.
Na primer: V tem primeru imamo dvoumno izjavo P ⇒ Q ⇒ R. Sedaj imamo dve dvoumni izjavi ((P ⇒ Q) ⇒ R) ali (P ⇒ (Q ⇒ R)) in pokazati moramo, ali sta ti izjavi so podobni ali ne.
rešitev: To bomo dokazali s pomočjo tabele resnic, ki je opisana takole:
| p | Q | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
V zgornji tabeli resničnosti lahko vidimo, da tabeli resničnosti P ⇒ (Q ⇒ R) in (P ⇒ Q) ⇒ R nista podobni. Zato bosta oba ustvarila različne izložke ali rezultate.
Več o implikaciji
Še nekaj primerov implikacij je opisanih v nadaljevanju:
- Če bo sončno, bom šel v šolo.
- Če dobim dobro službo, potem bom zaslužil denar.
- Če dobim dobre ocene, bodo moji starši zadovoljni.
V vseh zgornjih primerih smo zmedeni, ker ne vemo, kdaj bo implikacija veljala za resnično in kdaj za napačno. Da bi rešili ta problem in razumeli koncept implikacije, bomo uporabili hipotetični primer. V tem primeru bomo predpostavili, da bo Marry igral badminton s svojim fantom Jackom, njegov fant Jack pa želi Marry nekoliko motivirati, zato jo premami z izjavo:
'If you win then I will buy a ring for you'
S to izjavo Jack misli, da če zmaga poroka, bo očitno kupil prstan. S to izjavo se Jack zaveže samo takrat, ko zmaga Marry. V nobenem primeru ni storil ničesar, ko je Mary izgubila. Tako so na koncu tekme lahko le štiri možnosti, ki so opisane takole:
- Marry zmaga - kupi prstan.
- Poroka zmaga - ne kupujte prstana.
- Marry izgubi - kupi prstan.
- Poroči se izgubi - ne kupuj prstana.
Vendar pa Jack ni podal nobene izjave v zvezi s pravilom (B). Prav tako v svoji izjavi ni omenil pravil številka (C) in (D), tako da če Marry izgubi, potem je popolnoma odvisno od Jacka, ali ji kupi prstan ali ne. Dejansko se izjave (A), (C) in (D) lahko zgodijo kot rezultat izjave, ki jo Jack reče Marry, vendar (B) ne bo rezultat. Če pride do izida (B), bo Jack le tako ujet na laži. V vseh ostalih treh primerih, tj. (A), (C) in (D), bo govoril resnico.
Zdaj bomo uporabili preprostejšo izjavo, da bomo lahko Jackovo izjavo simbolično definirali takole:
P: you win Q: I will buy a ring for you
V tej implikaciji uporabljamo logični simbol ⇒, ki ga lahko beremo kot 'implicira'. Izjavo Jack's Compound bomo oblikovali s pomočjo postavitve te puščice od P do Q takole:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
Na koncu smo opazili, da bo implikacija napačna le, če je P resničen in q napačen. Glede na to izjavo zmaga Marry, toda Jack žal ne kupi prstana. V vseh drugih primerih/izidih bo izjava resnična. V skladu s tem je tabela resnic za implikacijo opisana takole:
| p | Q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Seznam ustreznih logičnih enačb za implikacijo je opisan takole:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Primeri implikacij:
Obstajajo različni primeri posledic, nekateri pa so opisani takole:
Primer 1: Recimo, da obstajajo štiri izjave, P, Q, R in S, kjer
P: Jack je v šoli
V: Jack uči
R: Jack spi
S: Jack je bolan
Zdaj bomo opisali nekaj simboličnih izjav, ki so vključene v te preproste izjave.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Tukaj moramo prikazati predstavitev interpretacije teh simboličnih izjav v besedah.
rešitev:
| P → R | Če je Jack v šoli, potem Jack poučuje. |
| S → ~P | Če je Jack bolan, potem ni v šoli. |
| ~Q → (S ∧ R) | Če Jack ne uči, potem je bolan in spi. |
| (P ∨ R) → ~Q | Če je Jack v šoli ali spi, potem ne poučuje. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Če Jack ne spi in ni bolan, potem poučuje ali ni v šoli. |
Primer 2: V tem primeru imamo implikacijo P → Q. Tukaj imamo še tri sestavljene izjave, ki so naravno povezane s to implikacijo, ki je kontra pozitivna, inverzna in inverzna implikaciji. Odnos med vsemi temi štirimi izjavami je opisan s pomočjo tabele, ki je opisana takole:
| Implikacija | P → Q |
| Converse | Q → P |
| Inverzna | ~P → ~Q |
| Kontrapozitivno | ~Q → ~P |
Zdaj bomo razmislili o primeru implikacije, ki ima izjavo: 'Če se dobro učiš, dobiš dobre ocene'. Ta izjava je v obliki P → Q, kjer je
P: dobro se učiš
V: dobiš dobre ocene
Zdaj bomo uporabili stavka P in Q in prikazali štiri pridružene izjave takole:
Posledice: Če se dobro učiš, dobiš dobre ocene.
Converse: Če dobiš dobre ocene, se dobro učiš.
Obratno: Če se ne učiš dobro, ne dobiš dobrih ocen.
Kontrapozitivno: Če ne dobiš dobrih ocen, se ne učiš dobro.
Resnične vrednosti vseh zgornjih pridruženih trditev so opisane s pomočjo tabele resnic, ki je opisana takole
| p | Q | ~P | ~Q | P → Q | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
V zgornji tabeli lahko vidimo, da imata implikacija (P → Q) in njen kontrapozitiv (~Q → ~P) v svojih stolpcih enako vrednost. To pomeni, da sta oba enakovredna. Torej lahko rečemo, da:
P → Q = ~Q → ~P
Podobno lahko vidimo, da imata inverz in inverz v svojih stolpcih podobne vrednosti. Vendar to ne bo nič spremenilo, ker je inverz kontrapozitiv obratnega. Podobno lahko izvirna implikacija izvira iz kontra-pozitiva kontra-pozitiva. (To pomeni, da če negiramo P in Q in nato zamenjamo smer puščice, nato pa bomo znova ponovili postopek, to pomeni, da negiramo ~P in ~Q in ponovno zamenjamo smer puščice, bomo v tem primeru dobili nazaj, kjer smo začeli).