Kvadratni koren katere koli številske vrednosti je vrednost, ki pri samomnoženju povzroči izvirno število. '√' je radikalni simbol, ki se uporablja za prikaz korena katerega koli števila. S kvadratnim korenom mislimo na potenco 1/2 tega števila. Na primer, predpostavimo, da je x kvadratni koren katerega koli celega števila y, to pomeni, da je x=√y. Z množenjem eq dobimo tudi x²= y.

Kvadratni koren kvadrata pozitivnega števila daje prvotno število.

Da bi razumeli koncept, vemo, da je kvadrat 4 16 in kvadratni koren iz 16, √16 = 4. Zdaj, kot lahko vidimo, je 16 popoln kvadrat. To olajša izračun kvadratnega korena takih števil. Vendar je izračun kvadratnega korena nepopolnega kvadrata, kot je 3, 5, 7 itd., težak postopek.

Funkcija kvadratnega korena je funkcija ena proti ena, ki kot vnos uporablja pozitivno število in vrne kvadratni koren danega vhodnega števila.

f(x) = √x

Lastnosti kvadratnih korenov

Nekatere pomembne lastnosti kvadratnega korena so naslednje:

• Za popolno kvadratno število obstaja popoln kvadratni koren.
• Za število, ki se konča s sodim številom ničel, obstaja kvadratni koren.
• Kvadratni koren katerega koli negativnega števila ni definiran.
• Za število, ki se konča s številkami 2, 3, 7 ali 8, popoln kvadratni koren ne obstaja.
• Za število, ki se konča s številkami 1, 4, 5, 6 ali 9, bo imelo število kvadratni koren.

Kako izračunati kvadratni koren?

Popolna kvadratna števila so cela števila, ki so po naravi pozitivna in jih je mogoče enostavno izraziti v obliki množenja števila s samim seboj. Popolna kvadratna števila so upodobljena kot vrednost stopnje 2 katerega koli celega števila. Izračun kvadratnega korena popolnih kvadratnih števil je relativno lažji. Za iskanje kvadratnega korena števil se uporabljajo predvsem štiri metode:

• Metoda ponavljajočega odštevanja kvadratnega korena
• Kvadratni koren po metodi prafaktorizacije
• Kvadratni koren po metodi ocenjevanja
• Kvadratni koren po metodi dolgega deljenja

Zgornje tri metode je mogoče uporabiti pri izračunu kvadratnega korena popolnih kvadratnih števil. Zadnji način pa je mogoče uporabiti za obe vrsti števil.

Metoda ponavljajočega odštevanja kvadratnih korenov

Metoda temelji na naslednjem zaporedju korakov:

Korak 1: Od števila, za katerega iščemo kvadratni koren, odštejemo zaporedna liha števila.

2. korak: Ponavljajte korak 1, dokler ne dosežete vrednosti 0.

3. korak: Kolikokrat se ponovi prvi korak, je zahtevani kvadratni koren danega števila.

Opomba: Ta metoda se lahko uporablja samo za popolne kvadrate.

Na primer, za številko 16 metoda deluje na naslednji način:

16 – 1 = 15

15 – 3 =12

12 – 5 = 7

7-7 = 0

Postopek se ponovi 4x. Tako je √16 = 4.

Kvadratni koren po metodi prafaktorizacije

Prafaktorizacija katerega koli števila je predstavitev tega števila v obliki produkta praštevil. Metoda temelji na naslednjem zaporedju korakov:

Korak 1: Določeno število razdelite na prafaktorje.

2. korak: Par podobnih faktorjev se oblikuje tako, da sta oba faktorja v vsakem izmed oblikovanih parov enaka.

zemljevidi java

3. korak: Iz vsakega para vzemite en faktor.

4. korak: Zmnožek faktorjev dobimo tako, da vsakemu paru vzamemo en faktor.

5. korak: Ta dobljeni produkt je kvadratni koren danega števila.

Opomba: Ta metoda se lahko uporablja samo za popolne kvadrate.

Na primer, za številko 64 metoda deluje na naslednji način:

egin{array}l llap{2~~~~} 64 hline llap{2~~~~} 32 hline llap{2~~~~} 16 hline llap{2~~~~} 8 hline llap{2~~~~} 4 hline llap{2~~~~} 2 hline 1 end{array}

64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}

64 = 2²×2²×2²

64 = (2 × 2 × 2)²

64 = (8)²

√64 = 8

Kvadratni koren po metodi ocenjevanja

Metoda ocenjevanja se uporablja za približek kvadratnega korena danega števila. Kvadratni koren števila približa razumni domnevi dejanske vrednosti. Pri tej metodi so izračuni lažji. Vendar je to res dolgotrajen in dolgotrajen proces.

Korak 1: Poiščite najbližji popoln kvadrat, ki se pojavlja pred in za danim številom.

2. korak: Poiščite naslednja najbližja cela števila in jih vsakič zaokrožite, da pridete do najbližjega odgovora.

Na primer, za številko 15 metoda deluje na naslednji način:

svm

9 in 16 sta popolni kvadratni števili pred in za najbližjimi 15. Zdaj vemo,

√16 = 4 in √9 = 3. To pomeni, da se kvadratni koren števila 15 nahaja med 3 in 4. Zdaj postopek vključuje oceno, ali je kvadratni koren števila 15 bližje 3 ali 4.

V prvem primeru vzamemo 3,5 in 4. Kvadrat 3,5 = 12,25 in kvadratni koren iz 4 = 16. Zato je kvadratni koren celega števila 15 med 3,5 in 4 in je bližje 4.

Nadalje najdemo kvadrata 3,8 in 3,9, ki sta enakovredna 3,8²= 14,44 in 3,9²= 15,21 oz. To pomeni, da je √15 med 3,8 in 3,9. Pri nadaljnjem vrednotenju dobimo, da je √15 = 3,872.

Kvadratni koren po metodi dolgega deljenja

Metoda dolgega deljenja za izračun kvadratnega korena števil vključuje delitev velikih števil na korake ali dele, s čimer se problem razdeli na zaporedje lažjih korakov.

Na primer, za število 180 metoda deluje na naslednji način:

Korak 1: Čez vsak par števk številke, ki se začne z mestom enote, je postavljena vrstica.

2. korak: Skrajno levo število se nato deli z največjim številom, tako da je kvadrat manjši ali enak številu v skrajno levem paru.

3. korak: Zdaj je številka pod naslednjo vrstico na desni strani ostanka znižana. Zadnja številka dobljenega količnika se prišteje delitelju. Naslednji korak je, da desno od dobljene vsote poiščemo takšno število, da skupaj z rezultatom vsote tvori nov delitelj za novo dividendo.

4. korak: Dobljeno število v količniku je enakovredno številu, izbranemu v delitelju.

5. korak: Enak postopek se ponovi z uporabo decimalne vejice in dodajanjem ničel v parih k ostanku.

6. korak: Kvocient tvori kvadratni koren števila.

Vzorčna vprašanja

Vprašanje 1. Izračunajte kvadratni koren iz 144 z metodo prafaktorizacije?

rešitev:

egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array}

v niz metodo java

144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}

144 = 2²×2²×3²

144 = (2 × 2 × 3)²

144 = (12)²

√144 = 12

2. vprašanje Kakšen je način za poenostavitev kvadratnega korena?

rešitev:

Prafaktorizacijo danega števila je mogoče izračunati. Če faktorja ni mogoče združiti, se za njihovo združevanje uporabi simbol kvadratnega korena. Za poenostavitev se uporablja naslednje pravilo:

√xy = √(x × y), kjer sta x in y pozitivna cela števila.

Na primer, √12 =sqrt{2 × 2 × 3}= 23

V primeru ulomkov se uporablja naslednje pravilo:frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}}

Na primer:frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10}= √5

Vprašanje 3. Rešite: √(x + 2) = 4

rešitev:

Vemo,

√(x + 2) = 4

Ob kvadriranju obeh stranic dobimo;

x + 2 = √4

x + 2 = ±4

listnode

x = ±4 – 2

Zato imamo,

x = 2 ali x = -6

Vprašanje 4. Ali je lahko kvadratni koren negativnega števila celo število? Pojasni.

rešitev:

Vemo, da negativna števila ne morejo imeti kvadratnega korena. Razlog za to je, da če pomnožimo dve negativni števili, bo dobljeni rezultat vedno pozitivno število. Zato bo kvadratni koren negativnega števila v obliki kompleksnega števila.

Vprašanje 5. Izračunajte kvadratni koren iz 25 z metodo ponovnega odštevanja?

rešitev:

Po zgoraj navedenih korakih imamo,

25 – 1 = 24

24 – 3 = 21

21 – 5 = 16

16 – 7 = 9

9 – 9 = 0

Ker se postopek ponovi 5-krat, imamo √25 = 5.

Vprašanje 6. Izračunajte kvadratni koren iz 484 z metoda dolge delitve?

rešitev:

Z metodo dolge delitve imamo,

zdaj,

Ostanek je 0, torej je 484 popolno kvadratno število, tako da

√484 = 22