Recimo, da obstajata dve formuli, X in Y. Ti formuli bosta znani kot ekvivalenca, če je X ↔ Y tavtologija. Če sta dve formuli X ↔ Y tavtologija, potem jo lahko zapišemo tudi kot X ⇔ Y, to razmerje pa lahko beremo kot X enakovrednost Y.

Opomba: Pri linearni enakovrednosti formule moramo upoštevati nekaj točk, ki so opisane takole:

• ⇔ se uporablja le za označevanje simbola, ni pa povezovalni.
• Resnična vrednost X in Y bo vedno enaka, če je X ↔ Y tavtologija.
• Ekvivalenčna relacija vsebuje dve lastnosti, in sicer simetrično in tranzitivno.

1. metoda: Metoda tabele resnic:

Pri tej metodi bomo izdelali tabele resnic katere koli formule z dvema stavkoma in nato preverili, ali sta ti stavki enakovredni.

Primer 1: V tem primeru moramo dokazati X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

rešitev: Resnična tabela X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) je opisana takole:

Kot lahko vidimo, je X ∨ Y in ¬(¬X ∧ ¬Y) tavtologija. Zato X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Primer 2: V tem primeru moramo dokazati (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).

rešitev: Resnična tabela (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) je opisana takole:

Kot lahko vidimo, sta X → Y in (¬X ∨ Y) tavtologija. Zato (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Formula enakovrednosti:

Obstajajo različni zakoni, ki se uporabljajo za dokazovanje enakovredne formule, ki je opisana na naslednji način:

Idempotentni zakon: Če obstaja ena formula izjave, bo imela naslednje lastnosti:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Asociativni zakon: Če obstajajo tri formule stavkov, bo imela naslednje lastnosti:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Komutativni zakon: Če obstajata dve formuli izjave, bo imela naslednje lastnosti:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Distributivni zakon: Če obstajajo tri formule stavkov, bo imela naslednje lastnosti:

ukaz grep v linuxu

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Zakon o identiteti: Če obstaja ena formula izjave, bo imela naslednje lastnosti:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Zakon o dopolnitvi: Če obstaja ena formula izjave, bo imela naslednje lastnosti:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Absorpcijski zakon: Če obstajata dve formuli izjave, bo imela naslednje lastnosti:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

Iz Morganovega zakona: Če obstajata dve formuli izjave, bo imela naslednje lastnosti:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

2. način: Postopek zamenjave

Pri tej metodi bomo predpostavili formulo A : X → (Y → Z). Formulo Y → Z lahko poznamo kot del formule. Če zamenjamo ta del formule, tj. Y → Z, s pomočjo ekvivalenčne formule ¬Y ∨ Z v A, potem dobimo drugo formulo, to je B : X → (¬Y ∨ Z). Preverjanje, ali sta dani formuli A in B enakovredni ali ne, je enostaven postopek. S pomočjo postopka zamenjave lahko dobimo B iz A.

Primer 1: V tem primeru moramo dokazati, da {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

rešitev: Tukaj bomo vzeli levi stranski del in poskušali dobiti desni stranski del.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Zdaj bomo uporabili asociativni zakon takole:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Zdaj bomo uporabili De Morganov zakon takole:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Zato dokazano

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

Primer 2: V tem primeru moramo dokazati, da je {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

rešitev: Tukaj bomo vzeli levi stranski del in poskušali dobiti desni stranski del.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Zato dokazano

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

Primer 3: V tem primeru moramo dokazati, da je X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

rešitev: Tukaj bomo vzeli levi stranski del in poskušali dobiti desni stranski del.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Zato dokazano

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

Primer 4: V tem primeru moramo dokazati, da (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

rešitev: Tukaj bomo vzeli levi stranski del in poskušali dobiti desni stranski del.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Zdaj bomo uporabili asociativne in distribucijske zakone takole:

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Zdaj bomo uporabili De Morganov zakon takole:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Zdaj bomo uporabili distribucijski zakon takole:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Zato dokazano

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

Primer 5: V tem primeru moramo pokazati, da je ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) tavtologija.

rešitev: Tukaj bomo vzeli majhne dele in jih rešili.

Najprej bomo uporabili De Morganov zakon in dobili naslednje:

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

zato

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

tudi

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Zato

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

torej

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

Zato lahko rečemo, da je navedena formula tavtologija.

Primer 6: V tem primeru moramo pokazati, da je (X ∧ Y) → (X ∨ Y) tavtologija.

združitve in vrste združitev

rešitev: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Zdaj bomo uporabili De Morganov zakon takole:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Zdaj bomo uporabili asociativni zakon in komutativni zakon takole:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Zdaj bomo uporabili Negacijski zakon takole:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

Zato lahko rečemo, da je navedena formula tavtologija.

Primer 7: V tem primeru moramo zapisati zanikanje nekaterih izjav, ki so opisane takole:

1. Marry bo dokončala izobraževanje ali sprejela pristopno pismo podjetja XYZ.
2. Harry bo šel jutri na jahanje ali tek.
3. Če dobim dobre ocene, bo moj bratranec ljubosumen.

rešitev: Najprej bomo prvo izjavo rešili takole:

1. Recimo, da bo X: Marry dokončala svoje izobraževanje.

Y: Sprejmite pristopno pismo podjetja XYZ.

Za izražanje te izjave lahko uporabimo naslednjo simbolično obliko:

 X ∨ Y 

Negacija X ∨ Y je opisana takole:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Na koncu bo negacija dane izjave:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Recimo X: Harry se bo šel peljati

Y: Harry bo tekel jutri

Za izražanje te izjave lahko uporabimo naslednjo simbolično obliko:

 X ∨ Y 

Negacija X ∨ Y je opisana takole:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Na koncu bo negacija dane izjave:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Recimo X: Če dobim dobre ocene.

Y: Moj bratranec bo ljubosumen.

Za izražanje te izjave lahko uporabimo naslednjo simbolično obliko:

 X → Y 

Negacija X → Y je opisana takole:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

Na koncu bo negacija dane izjave:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

Primer 8: V tem primeru moramo zapisati negacijo nekaterih trditev s pomočjo De Morganovega zakona. Te izjave so opisane na naslednji način:

1. Potrebujem diamantni komplet in vreden zlatega prstana.
2. Dobiš dobro službo ali pa ne boš dobil dobrega partnerja.
3. Prevzamem veliko dela in tega ne zmorem.
4. Moj pes gre na potovanje ali pa dela nered v hiši.

rešitev: Negacijo vseh trditev s pomočjo De Morganovega zakona eno za drugo opišemo takole:

1. Ne potrebujem diamantnega kompleta ali nisem vreden zlatega prstana.
2. Ne morete dobiti dobre službe, dobrega partnerja pa boste.
3. Ne prevzemam veliko dela oziroma ga zmorem.
4. Moj pes ne gre na izlet in ne dela nereda v hiši.

Primer 9: V tem primeru imamo nekaj izjav in zapisati moramo zanikanje teh izjav. Izjave so opisane na naslednji način:

1. Če dežuje, potem načrt za odhod na plažo odpade.
2. Če se pridno učim, bom na izpitu dobil dobre ocene.
3. Če grem na nočno zabavo, me bo oče kaznoval.
4. Če ne želiš govoriti z mano, potem moraš blokirati mojo številko.

rešitev: Negacija vseh izjav je ena za drugo opisana takole:

1. Če je načrt za odhod na plažo odpovedan, potem dežuje.
2. Če dobim na izpitu dobre ocene, se pridno učim.
3. Če bom dobil kazen od očeta, grem na nočno zabavo.
4. Če moraš blokirati mojo številko, potem ne želiš govoriti z mano.

Primer 10: V tem primeru moramo preveriti, ali sta (X → Y) → Z in X → (Y → Z) logično enakovredna ali ne. Svoj odgovor moramo utemeljiti s pomočjo tabel resnic in s pomočjo logičnih pravil, da poenostavimo oba izraza.

rešitev: Najprej bomo uporabili metodo 1, da preverimo, ali sta (X → Y) → Z in X → (Y → Z) logično enakovredna, kar je opisano takole:

poveži bazo podatkov java

1. način: Tukaj bomo predpostavili naslednje:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

in

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

2. način: Zdaj bomo uporabili drugo metodo. Pri tej metodi bomo uporabili tabelo resnic.

V tej tabeli resnic lahko vidimo, da stolpca (X → Y) → Z in X → (Y → Z) ne vsebujeta enakih vrednosti.