Površina pod krivuljo je površina, ki jo oklepajo krivulja in koordinatne osi, izračuna se tako, da se vzamejo zelo majhni pravokotniki in nato vzame njihova vsota. Če vzamemo neskončno majhne pravokotnike, potem se njihova vsota izračuna tako, da se vzame limit tako oblikovane funkcije.

Za dano funkcijo f(x), definirano v intervalu [a, b], je površina (A) pod krivuljo f(x) od 'a' do 'b' podana z A = ∫ _a ^b f(x)dx . Ploščino pod krivuljo izračunamo tako, da vzamemo absolutno vrednost funkcije v intervalu [a, b], seštejemo čez območje.

V tem članku bomo podrobno spoznali območje pod krivuljo, njegove uporabe, primere in drugo.

Kazalo

• Kaj je površina pod krivuljo?
• Izračun površine pod krivuljo
• Uporaba Reimannove vsote
• Uporaba določenih integralov
• Približevanje površine pod krivuljo
• Izračun površine pod krivuljo
• Formule za površino pod krivuljo

Kaj je površina pod krivuljo?

Območje pod krivuljo je območje, ki ga oklepa katera koli krivulja z osjo x in danimi robnimi pogoji, tj. območje, omejeno s funkcijo y = f(x), osjo x in premico x = a in x = b. V nekaterih primerih obstaja samo en ali noben robni pogoj, saj krivulja seka os x enkrat ali dvakrat.

četrtina v poslu

Površino pod krivuljo je mogoče izračunati z različnimi metodami, kot sta Reimannova vsota in Določen integral lahko pa tudi približno izračunamo površino z uporabo osnovnih oblik, kot so trikotnik, pravokotnik, trapez itd.

Preberite podrobno: Račun v matematiki

Izračun površine pod krivuljo

Za izračun površine pod krivuljo lahko uporabimo naslednje metode, kot so:

• Uporaba Reimannove vsote
• Uporaba določenih integralov
• Uporaba približka

Te metode podrobno preučimo na naslednji način:

Uporaba Reimannove vsote

Reimann Sums se izračuna tako, da se graf dane funkcije razdeli na manjše pravokotnike in sešteje površine vsakega pravokotnika. Čim več pravokotnikov upoštevamo z razdelitvijo podanega intervala, tem bolj natančno je območje, izračunano s tem pristopom; kljub temu pa več podintervalov upoštevamo, težji postanejo izračuni.

Reimannovo vsoto lahko razvrstimo še v tri kategorije, kot so:

• Levo Reimann Sum
• Pravilno Reimann Sum
• Srednja Reimannova vsota

Površina z uporabo Reimannove vsote je podana na naslednji način:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

kje,

• f(x _jaz ) je vrednost funkcije, ki se integrira pri jaz ^th vzorčna točka
• Δx = (b-a)/n je širina vsakega podintervala,
  • a in b so meje integracije in
  • n je število podintervalov
• ∑ predstavlja vsoto vseh členov od i=1 do n,

Primer: Poiščite površino pod krivuljo za funkcijo, f(x) = x ² med mejama x = 0 in x = 2.

rešitev:

Najti želimo površino pod krivuljo te funkcije med x = 0 in x = 2. Za približek površine bomo uporabili levo Reimannovo vsoto z n = 4 podintervali.

Izračunajmo površino pod krivuljo z uporabo 4 podintervalov.

Tako je širina podintervalov Δx = (2-0)/4 = 0,5

Vsi 4 podintervali so,

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

x₀= 0, x₁= 0,5, x₂= 1, x₃= 1,5, x₄= 2

Zdaj lahko ovrednotimo funkcijo pri teh vrednostih x, da poiščemo višine vsakega pravokotnika:

f(x₀) = (0)²= 0
f(x₁) = (0,5)²= 0,25
f(x₂) = (1)²= 1
f(x₃) = (1,5)²= 2,25
f(x₄) = (2)²= 4

Površino pod krivuljo je zdaj mogoče približno izračunati s seštevanjem ploščin pravokotnikov, ki jih tvorijo te višine:

A ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0,5[0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Zato je površina pod krivuljo f(x) = x²med x = 0 in x = 2, aproksimirano z levo Reimannovo vsoto s 4 podintervali, je približno 1,25.

Uporaba določenih integralov

Določeni integral je skoraj enak Reimannovi vsoti, vendar se tu število podintervalov približuje neskončnosti. Če je funkcija podana za interval [a, b], je določeni integral definiran kot:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

Za razliko od Reimannove vsote določen integral poda točno površino pod krivuljo. Določeni integral se izračuna tako, da se poišče antiodvod funkcije in se ga ovrednoti na mejah integracije.

Območje glede na os X

Krivulja, prikazana na spodnji sliki, je predstavljena z y = f(x). Izračunati moramo površino pod krivuljo glede na os x. Mejni vrednosti za krivuljo na osi x sta a oziroma b. Plošča A pod to krivuljo glede na os x se izračuna med točkama x = a in x = b. Razmislite o naslednji krivulji:

Formula za površino pod krivuljo glede na os x je podana z:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

kje,

• A je površina pod krivuljo
• in oz f(x) je enačba krivulje
• a, in b so x-vrednosti ali meja integracije, za katero moramo izračunati površino

Območje glede na os Y

Krivulja, prikazana na zgornji sliki, je predstavljena z x = f(y). Izračunati moramo površino pod krivuljo glede na Y-os. Mejni vrednosti za krivuljo na osi Y sta a oziroma b. Območje A pod to krivuljo glede na os Y med točkama y = a in y = b. Razmislite o naslednji krivulji:

Formula za površino pod krivuljo glede na os y je podana z:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

kje,

• A je površina pod krivuljo
• x oz f(y) je enačba krivulje
• a, b so y-prestrezniki

Nauči se več, Območje med dvema krivuljama

Približevanje površine pod krivuljo

Približevanje površine pod krivuljo vključuje uporabo preprostih geometrijskih oblik, kot so pravokotniki ali trapezi, za oceno površine pod krivuljo. Ta metoda je uporabna, kadar je funkcijo težko integrirati ali ko ni mogoče najti antiizpeljave funkcije. Natančnost približka je odvisna od velikosti in števila uporabljenih oblik.

Izračun površine pod krivuljo

Z uporabo konceptov, obravnavanih v danem članku, lahko preprosto izračunamo površino različnih krivulj. Zdaj pa si oglejmo nekaj primerov izračuna površine pod krivuljo za nekatere običajne krivulje.

Območje pod krivuljo: parabola

Vemo, da je standardna parabola razdeljena na dva simetrična dela bodisi z osjo x bodisi z osjo y. Recimo, da vzamemo parabolo y²= 4ax in potem je treba njegovo ploščino izračunati od x = 0 do x = a. In če je potrebno, podvojimo njeno ploščino, da najdemo ploščino parabole v obeh kvadrantih.

Izračun površine,

in²= 4 ax

y = √(4ax)

A = 2∫₀^ay.dx

A = 2∫₀^a√(4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^a√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Torej je ploščina pod parabolo od x = 0 do x = a 8/3a ² kvadratnih enot

Območje pod krivuljo: krog

Krog je zaprta krivulja, katere obseg je vedno enako oddaljen od njegovega središča. Njegovo ploščino izračunamo tako, da najprej izračunamo ploščino v prvem kvadrantu in jo nato pomnožimo s 4 za vse štiri kvadrante.

Recimo, da vzamemo krog x²+ in²= a²nato pa je treba njegovo površino izračunati od x = 0 do x = a v prvem kvadrantu. In če je potrebno, početverimo njegovo ploščino, da najdemo ploščino kroga.

Izračun površine,

x²+ in²= a²

y = √(a²– x²).dx

A = 4∫₀^ay.dx

A = 4∫₀^a√(a²– x²).dx

A = 4[x/2√(a²– x²) + a²/2 brez^-1(x/a)]^a₀

A = 4[{(a/2).0 + a²/2.brez^-1} – 0]

A = 4(a²/2)(p/2)

A = πa²

Tako je površina pod krogom pa ² kvadratnih enot

Območje pod krivuljo: elipsa

Krog je zaprta krivulja. Njegovo ploščino izračunamo tako, da najprej izračunamo ploščino v prvem kvadrantu in jo nato pomnožimo s 4 za vse štiri kvadrante.

Recimo, da vzamemo krog (x/a)²+ (l/b)²= 1, nato pa je treba njegovo površino izračunati od x = 0 do x = a v prvem kvadrantu. In če je potrebno, početverimo njegovo ploščino, da najdemo ploščino elipse.

Izračun površine,

(x/a)²+ (l/b)²= 1

y = b/a√(a²– x²).dx

A = 4∫₀^ay.dx

A = 4b/a∫₀^a√(a²– x²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²– x²) + a²/2 brez^-1(x/a)]^a₀

A = 4b/a[{(a/2).0 + a²/2.brez^-1} – 0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

Tako je površina pod elipso πab kvadratnih enot.

Formule za površino pod krivuljo

Formula za različne vrste izračuna površine pod krivuljo je prikazana spodaj:

Tudi Preberite

• Integrali
• Ploščina kot določeni integral

Vzorčni primeri na površini pod krivuljo

Primer 1: Poiščite ploščino pod krivuljo y ² = 12x in X-os.

rešitev:

Dana enačba krivulje je y²= 12x

To je enačba parabole z a = 3, torej y²= 4(3)(x)

Graf za zahtevano območje je prikazan spodaj:

Os X deli zgornjo parabolo na 2 enaka dela. Torej lahko poiščemo površino v prvem kvadrantu in jo nato pomnožimo z 2, da dobimo zahtevano površino

Tako lahko najdemo zahtevano območje kot:

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 kvadratnih enot

Primer 2: Izračunajte ploščino pod krivuljo x = y ³ – 9 med točkama y = 3 in y = 4.

rešitev:

Dana je enačba krivulje x = y³– 9

Mejne točke so (0, 3) in (0, 4)

Ker je enačba krivulje v obliki x = f(y) in so točke tudi na osi Y, bomo uporabili formulo,

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 kvadratnih enot

Primer 3: Izračunajte ploščino pod krivuljo y = x ² – 7 med točkama x = 5 in x = 10.

rešitev:

Podano je krivulja y = x²−7 in mejni točki sta (5, 0) in (10, 0)

Tako je površina pod krivuljo podana z:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 kvadratnih enot

Primer 4: Poiščite ploščino, ki jo oklepa parabola y ² = 4ax in premica x = a v prvem kvadrantu.

rešitev:

Dano krivuljo in črto lahko narišemo na naslednji način:

Zdaj je enačba krivulje y²= 4 ax

Mejne točke so (0, 0) in (a, 0)

Torej lahko površino glede na os X izračunamo kot:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

Primer 5: Poiščite površino, ki jo pokriva krog x ² + in ² = 25 v prvem kvadrantu.

rešitev:

Glede na, x²+ in²= 25

Krivulja se lahko nariše kot:

Na zgornji sliki je zahtevano območje zasenčeno. Iz enačbe lahko vidimo, da je polmer kroga 5 enot.

Kot, x²+ in²= 25

y = sqrt{25-x^2}

Za iskanje območja uporabimo:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 kvadratnih enot

Pogosta vprašanja o površini pod krivuljo

Določite območje pod krivuljo.

Področje, ki ga omejujejo krivulja, os in mejne točke, se imenuje območje pod krivuljo. Z uporabo koordinatnih osi in integracijske formule je bila površina pod krivuljo določena kot dvodimenzionalna površina.

Kako izračunati površino pod krivuljo?

Obstajajo trije načini za iskanje površine pod krivuljo, in sicer:

• Reimann Sums vključujejo razdelitev krivulje na manjše pravokotnike in dodajanje njihovih površin, pri čemer število podintervalov vpliva na natančnost rezultata.
• Določeni integrali so podobni Reimannovim vsotam, vendar uporabljajo neskončno število podintervalov, da zagotovijo točen rezultat.
• Metode aproksimacije uporablja znane geometrijske oblike za približek površine pod krivuljo.

Kakšna je razlika med določenim integralom in Reimannovo vsoto?

Ključna razlika med določenim integralom in Reimannovo vsoto je v tem, da določen integral predstavlja natančno površino pod dano krivuljo, medtem ko Reimannova vsota predstavlja približno vrednost površine, natančnost vsote pa je odvisna od izbrane velikosti particije.

Ali je lahko površina pod krivuljo negativna?

Če je krivulja pod osjo ali leži v negativnih kvadrantih koordinatne osi, je površina pod krivuljo negativna. Tudi v tem primeru se površina pod krivuljo izračuna s konvencionalnim pristopom, rešitev pa se nato modulira. Tudi v primerih, ko je odgovor negativen, se upošteva le vrednost površine in ne negativnega predznaka odgovora.

Kaj površina pod krivuljo predstavlja v statistiki?

Območje pod krivuljo (ROC) je merilo natančnosti kvantitativnega diagnostičnega testa.

Kako si razlagate znak površine pod krivuljo?

Znak površine kaže, da je površina pod krivuljo nad osjo x ali pod osjo x. Če je površina pozitivna, je površina pod krivuljo nad osjo x, če je negativna, je površina pod krivuljo pod osjo x.

Kako se približno izračuna površina pod krivuljo?

S segmentiranjem regije v majhne pravokotnike je mogoče približno oceniti površino pod krivuljo. In če seštejemo površine teh pravokotnikov, lahko dobimo površino pod krivuljo.