/* A Naive recursive implementation of  0-1 Knapsack problem */ #include  using namespace std; // A utility function that returns // maximum of two integers int max(int a, int b) { return (a>b)? a : b; } // Vrne največjo vrednost, // ki jo je mogoče dati v nahrbtnik s kapaciteto W int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n) // Osnovni primer if (n == 0 // Driver code int main() { int profit[] = { 60, 100, 120 } = { 10, 20, 30 }; int n = sizeof(profit) / sizeof(profit[) 0]);<< knapSack(W, weight, profit, n);  return 0; } // This code is contributed by rathbhupendra>

/* A Naive recursive implementation of 0-1 Knapsack problem */ #include  // A utility function that returns // maximum of two integers int max(int a, int b) { return (a>b)? a : b; } // Vrne največjo vrednost, ki jo // lahko damo v nahrbtnik s kapaciteto W int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n) W == 0) return 0;  // Če je teža n-tega predmeta večja od // zmogljivosti nahrbtnika W, tega predmeta // ni mogoče vključiti v optimalno rešitev, če (wt[n - 1]> W) return knapSack(W, wt, val, n - 1);  // Vrne največ dva primera: // (1) vključen n-ti element // (2) ni vključen sicer vrni max( val[n - 1] + knapSack(W - wt[n - 1], wt, val, n - 1), nahrbtna vreča (W, wt, val, n - 1));  // Koda gonilnika int main() { int profit[] = { 60, 100, 120 };  int teža [] = { 10, 20, 30 };  int W = 50;  int n = sizeof(profit) / sizeof(profit[0]);  printf('%d', nahrbtnik(W, teža, dobiček, n));  vrni 0; }>

/* A Naive recursive implementation of 0-1 Knapsack problem */ class Knapsack {  // A utility function that returns  // maximum of two integers  static int max(int a, int b) { return (a>b)? a : b; } // Vrne največjo vrednost, // ki jo je mogoče dati v nahrbtnik // kapacitete W static int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n) // Koda gonilnika public static void main( String args[]) { int profit[] = new int[] { 60, 100, 120 };  int teža[] = novo int[] { 10, 20, 30 };  int W = 50;  int n = profit.length;  System.out.println(knapSack(W, teža, dobiček, n));  } } /*To kodo je prispeval Rajat Mishra */>

# A naive recursive implementation # of 0-1 Knapsack Problem # Returns the maximum value that # can be put in a knapsack of # capacity W def knapSack(W, wt, val, n): # Base Case if n == 0 or W == 0: return 0 # If weight of the nth item is # more than Knapsack of capacity W, # then this item cannot be included # in the optimal solution if (wt[n-1]>W): vrni knapSack(W, wt, val, n-1) # vrni največ dva primera: # (1) vključen n-ti element # (2) ni vključen drugje: vrni max( val[n-1] + knapSack ( W-wt[n-1], wt, val, n-1), knapSack(W, wt, val, n-1)) # konec funkcije knapSack # koda gonilnika, če je __ime__ == '__main__': dobiček = [60, 100, 120] teža = [10, 20, 30] W = 50 n = len(profit) print knapSack(W, teža, dobiček, n) # To kodo je prispeval Nikhil Kumar Singh>

/* A Naive recursive implementation of 0-1 Knapsack problem */ using System; class GFG {  // A utility function that returns  // maximum of two integers  static int max(int a, int b) { return (a>b)? a : b; } // Vrne največjo vrednost, // ki jo je mogoče dati v nahrbtnik s kapaciteto W static int knapSack(int W, int[] wt, int[] val, int n) W == 0) return 0;  // Če je teža n-tega predmeta // večja od kapacitete nahrbtnika W, // tega predmeta ni mogoče // vključiti v optimalno rešitev, če (wt[n - 1]> W) return knapSack(W, wt, val , n - 1);  // Vrne največ dva primera: // (1) vključen n-ti element // (2) ni vključen sicer vrni max(val[n - 1] + knapSack(W - wt[n - 1], wt, val, n - 1), nahrbtna vreča (W, wt, val, n - 1));    // Koda gonilnika public static void Main() { int[] profit = new int[] { 60, 100, 120 };  int[] teža = novo int[] { 10, 20, 30 };  int W = 50;  int n = profit.Length;  Console.WriteLine(knapSack(W, teža, dobiček, n));  } } // To kodo je prispeval Sam007>

 /* A Naive recursive implementation of  0-1 Knapsack problem */    // A utility function that returns  // maximum of two integers  function max(a, b)  {  return (a>b)? a : b;  } // Vrne največjo vrednost, // ki jo je mogoče dati v nahrbtnik s kapaciteto W function knapSack(W, wt, val, n) // Osnovni primer if (n == 0 let profit = [ 60, 100, 120 ] ; naj teža = [ 10, 20, 30 ]; naj n = profit.log (knapSack (W, teža, n));PHP220>

Časovna zapletenost: O(2ⁿ)
Pomožni prostor: O(N), potreben prostor sklada za rekurzijo

Pristop dinamičnega programiranja za problem nahrbtnika 0/1

Pristop pomnjenja za problem nahrbtnika 0/1:

Opomba: Upoštevati je treba, da zgornja funkcija z uporabo rekurzije znova in znova izračunava iste podprobleme. Glejte naslednje rekurzijsko drevo, K(1, 1) je dvakrat ocenjen.

V naslednjem drevesu rekurzije je K() se nanaša na nahrbtnik(). Dva parametra, navedena v naslednjem rekurzivnem drevesu, sta n in W.
Rekurzijsko drevo je za naslednje vzorčne vnose.
teža[] = {1, 1, 1}, W = 2, dobiček [] = {10, 20, 30}

K(3, 2)
/
/
K(2, 2) K(2, 1)
/ /
/ /
K(1, 2) K(1, 1) K(1, 1) K(1, 0)
/ / /
/ / /
K(0, 2) K(0, 1) K(0, 1) K(0, 0) K(0, 1) K(0, 0)

Rekurzijsko drevo za kapaciteto nahrbtnika 2 enoti in 3 predmete teže 1 enote.

Ker se vedno znova isti podproblem ponavlja, lahko za rešitev problema izvedemo naslednjo idejo.

Če prvič dobimo podproblem, lahko ta problem rešimo tako, da ustvarimo 2-D niz, ki lahko shrani določeno stanje (n, w). Zdaj, če znova naletimo na isto stanje (n, w), namesto da bi ga izračunali v eksponentni kompleksnosti, lahko neposredno vrnemo njegov rezultat, shranjen v tabeli v konstantnem času.

indeks jave

Spodaj je izvedba zgornjega pristopa:

// Here is the top-down approach of // dynamic programming #include  using namespace std; // Returns the value of maximum profit int knapSackRec(int W, int wt[], int val[], int index, int** dp) {  // base condition  if (index < 0)  return 0;  if (dp[index][W] != -1)  return dp[index][W];  if (wt[index]>W) { // Shrani vrednost klica funkcije // sklad v tabeli pred vrnitvijo dp[index][W] = knapSackRec(W, wt, val, index - 1, dp);  vrni dp[indeks][W];  } else { // Shrani vrednost v tabelo pred vrnitvijo dp[index][W] = max(val[index] + knapSackRec(W - wt[index], wt, val, index - 1, dp), knapSackRec(W , wt, val, indeks - 1, dp));  // Povrnjena vrednost tabele po shranjevanju return dp[index][W];  } } int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n) { // dvojni kazalec za // dinamično deklaracijo tabele int** dp;  dp = novo int*[n];  // zanka za dinamično ustvarjanje tabele za (int i = 0; i< n; i++)  dp[i] = new int[W + 1];  // loop to initially filled the  // table with -1  for (int i = 0; i < n; i++)  for (int j = 0; j < W + 1; j++)  dp[i][j] = -1;  return knapSackRec(W, wt, val, n - 1, dp); } // Driver Code int main() {  int profit[] = { 60, 100, 120 };  int weight[] = { 10, 20, 30 };  int W = 50;  int n = sizeof(profit) / sizeof(profit[0]);  cout << knapSack(W, weight, profit, n);  return 0; }>

// Here is the top-down approach of // dynamic programming import java.io.*; class GFG {  // A utility function that returns  // maximum of two integers  static int max(int a, int b) { return (a>b)? a : b; } // Vrne vrednost največjega dobička static int knapSackRec(int W, int wt[], int val[], int n, int[][] dp) W == 0) return 0;  if (dp[n][W] != -1) vrni dp[n][W];  if (wt[n - 1]> W) // Shrani vrednost klica funkcije // sklad v tabeli pred vrnitvijo return dp[n][W] = knapSackRec(W, wt, val, n - 1, dp);  else // Povrnjena vrednost tabele po shranjevanju return dp[n][W] = max((val[n - 1] + knapSackRec(W - wt[n - 1], wt, val, n - 1, dp)) , knapSackRec(W, wt, val, n - 1, dp));    static int knapSack(int W, int wt[], int val[], int N) { // Dinamično deklariraj tabelo int dp[][] = novo int[N + 1][W + 1];  // Zanka za prvotno zapolnitev // tabele z -1 for (int i = 0; i< N + 1; i++)  for (int j = 0; j < W + 1; j++)  dp[i][j] = -1;  return knapSackRec(W, wt, val, N, dp);  }  // Driver Code  public static void main(String[] args)  {  int profit[] = { 60, 100, 120 };  int weight[] = { 10, 20, 30 };  int W = 50;  int N = profit.length;  System.out.println(knapSack(W, weight, profit, N));  } } // This Code is contributed By FARAZ AHMAD>

# This is the memoization approach of # 0 / 1 Knapsack in Python in simple # we can say recursion + memoization = DP def knapsack(wt, val, W, n): # base conditions if n == 0 or W == 0: return 0 if t[n][W] != -1: return t[n][W] # choice diagram code if wt[n-1] <= W: t[n][W] = max( val[n-1] + knapsack( wt, val, W-wt[n-1], n-1), knapsack(wt, val, W, n-1)) return t[n][W] elif wt[n-1]>W: t[n][W] = nahrbtnik(wt, val, W, n-1) return t[n][W] # Koda voznika if __name__ == '__main__': profit = [60, 100, 120] teža = [10, 20, 30] W = 50 n = len(profit) # Najprej inicializiramo matriko z -1. t = [[-1 za i v obsegu (W + 1)] za j v obsegu (n + 1)] print(nahrbtnik(teža, dobiček, W, n)) # To kodo je prispeval Prosun Kumar Sarkar>'>C# 
// A utility function that returns // maximum of two integers  function max(a, b)  {   return (a>b)? a : b;  } // Vrne vrednost največjega dobička funkcija knapSackRec(W, wt, val, n,dp) // Osnovni pogoj if (n == 0 funkcija knapSack( W, wt,val,N) { // Deklariraj tabelo dp dinamično // Inicializacija tabel dp (vrstice in stolpci) z -1 pod var dp = new Array(N+1).fill(-1).map(el => new Array(W+1).fill(-1) ); return knapSack(W, wt, N, dp); var. profit= [ 10, 20, 30 ]; var N = profit.length ; console.log(knapSack(W, weight, N)); // To kodo je prispeval akshitsaxenaa09  
  Izhod  
220>
  
    Časovna zapletenost:    O(N * Š). Ker se izognemo odvečnim izračunom stanj.  
    Pomožni prostor:    O(N * Š) + O(N). Uporaba podatkovne strukture 2D matrike za shranjevanje vmesnih stanj in O(N) pomožnega skladovnega prostora (ASS) je bila uporabljena za rekurzivni sklad
 
    Pristop od spodaj navzgor za problem z nahrbtnikom 0/1:    
Za rešitev težave sledite spodnji zamisli:
  
Ker so podproblemi ponovno ovrednoteni, ima ta problem lastnost Prekrivajočih se podproblemov. Torej ima problem nahrbtnika 0/1 obe lastnosti (glejte to in to ) problema dinamičnega programiranja. Kot drugi tipični Težave z dinamičnim programiranjem (DP). , se je mogoče izogniti ponovnemu izračunu istih podproblemov z izdelavo začasne matrike K[][] na način od spodaj navzgor.
 
    Ilustracija:    
 
Spodaj je ilustracija zgornjega pristopa:
  
Pustiti,    teža[] = {1, 2, 3}, dobiček [] = {10, 15, 40}, zmogljivost = 6    
 
Če noben element ni izpolnjen, je možen dobiček 0.
teža⇢  
element⇣/
0
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
0
1
 
 
 
 
 
 
 
2
 
 
 
 
 
 
 
3
 
 
 
 
 
 
 
    Za polnjenje prvega predmeta v vrečki:    Če sledimo zgoraj navedenemu postopku, bo tabela videti takole.
teža⇢  
element⇣/
0
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
10
10
10
10
10
10
2
 
 
 
 
 
 
 
3
 
 
 
 
 
 
 
    Za polnjenje druge postavke:       
Ko je jthWeight = 2, je največji možni dobiček max (10, DP[1][2-2] + 15) = max(10, 15) = 15.  
Ko je jthWeight = 3, je največji možni dobiček max(2 ni dano, 2 je dano v vrečko) = max(DP[1][3], 15+DP[1][3-2]) = max(10, 25) = 25.
teža⇢  
element⇣/
0
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
10
10
10
10
10
10
2
0
10
petnajst
25
25
25
25
3
 
 
 
 
 
 
 
    Za izpolnitev tretje postavke:     
Ko je jthWeight = 3, je največji možni dobiček max(DP[2][3], 40+DP[2][3-3]) = max(25, 40) = 40.  
Ko je jthWeight = 4, je največji možni dobiček max(DP[2][4], 40+DP[2][4-3]) = max(25, 50) = 50.  
Ko je jthWeight = 5, je največji možni dobiček max(DP[2][5], 40+DP[2][5-3]) = max(25, 55) = 55.  
Ko je jthWeight = 6, je največji možni dobiček max(DP[2][6], 40+DP[2][6-3]) = max(25, 65) = 65.
teža⇢  
element⇣/
0
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
10
10
10
10
10
10
2
0
10
petnajst
25
25
25
25
3
0
10
petnajst
40
petdeset
55
65
Spodaj je izvedba zgornjega pristopa:
C++ 
// A dynamic programming based // solution for 0-1 Knapsack problem #include  using namespace std; // A utility function that returns // maximum of two integers int max(int a, int b) { return (a>b)? a : b; } // Vrne največjo vrednost, // ki jo je mogoče dati v nahrbtnik s kapaciteto W int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n) { int i, w;  vektor> K(n + 1, vektor (W + 1));  // Gradi tabelo K[][] na način od spodaj navzgor za (i = 0; i<= n; i++) {  for (w = 0; w <= W; w++)   if (i == 0   }  return K[n][W]; } // Driver Code int main() {  int profit[] = { 60, 100, 120 };  int weight[] = { 10, 20, 30 };  int W = 50;  int n = sizeof(profit) / sizeof(profit[0]);  cout << knapSack(W, weight, profit, n);  return 0; } // This code is contributed by Debojyoti Mandal>
 C 
// A Dynamic Programming based // solution for 0-1 Knapsack problem #include  // A utility function that returns // maximum of two integers int max(int a, int b) { return (a>b)? a : b; } // Vrne največjo vrednost, // ki jo je mogoče dati v nahrbtnik s kapaciteto W int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n) { int i, w;  int K[n + 1][W + 1];  // Gradi tabelo K[][] na način od spodaj navzgor za (i = 0; i<= n; i++) {  for (w = 0; w <= W; w++)   if (i == 0   }  return K[n][W]; } // Driver Code int main() {  int profit[] = { 60, 100, 120 };  int weight[] = { 10, 20, 30 };  int W = 50;  int n = sizeof(profit) / sizeof(profit[0]);  printf('%d', knapSack(W, weight, profit, n));  return 0; }>
 Java 
// A Dynamic Programming based solution // for 0-1 Knapsack problem import java.io.*; class Knapsack {  // A utility function that returns  // maximum of two integers  static int max(int a, int b) { return (a>b)? a : b; } // Vrne največjo vrednost, // ki jo je mogoče dati v nahrbtnik s kapaciteto W static int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n) { int i, w;  int K[][] = novo int[n + 1][W + 1];  // Gradi tabelo K[][] na način od spodaj navzgor za (i = 0; i<= n; i++) {  for (w = 0; w <= W; w++)   if (i == 0   }  return K[n][W];  }  // Driver code  public static void main(String args[])  {  int profit[] = new int[] { 60, 100, 120 };  int weight[] = new int[] { 10, 20, 30 };  int W = 50;  int n = profit.length;  System.out.println(knapSack(W, weight, profit, n));  } } /*This code is contributed by Rajat Mishra */>
 Python 
# A Dynamic Programming based Python # Program for 0-1 Knapsack problem # Returns the maximum value that can # be put in a knapsack of capacity W def knapSack(W, wt, val, n): K = [[0 for x in range(W + 1)] for x in range(n + 1)] # Build table K[][] in bottom up manner for i in range(n + 1): for w in range(W + 1): if i == 0 or w == 0: K[i][w] = 0 elif wt[i-1] <= w: K[i][w] = max(val[i-1] + K[i-1][w-wt[i-1]], K[i-1][w]) else: K[i][w] = K[i-1][w] return K[n][W] # Driver code if __name__ == '__main__': profit = [60, 100, 120] weight = [10, 20, 30] W = 50 n = len(profit) print(knapSack(W, weight, profit, n)) # This code is contributed by Bhavya Jain>
 C# 
// A Dynamic Programming based solution for // 0-1 Knapsack problem using System; class GFG {  // A utility function that returns  // maximum of two integers  static int max(int a, int b) { return (a>b)? a : b; } // Vrne največjo vrednost, // ki jo je mogoče dati v nahrbtnik // kapacitete W static int knapSack(int W, int[] wt, int[] val, int n) { int i, w;  int[,] K = novo int[n + 1, W + 1];  // Sestavi tabelo K[][] na način spodaj // navzgor za (i = 0; i<= n; i++) {  for (w = 0; w <= W; w++)   }  return K[n, W];  }  // Driver code  static void Main()  {  int[] profit = new int[] { 60, 100, 120 };  int[] weight = new int[] { 10, 20, 30 };  int W = 50;  int n = profit.Length;  Console.WriteLine(knapSack(W, weight, profit, n));  } } // This code is contributed by Sam007>
 Javascript 
 // A Dynamic Programming based solution  // for 0-1 Knapsack problem    // A utility function that returns  // maximum of two integers  function max(a, b)  {  return (a>b)? a : b;  } // Vrne največjo vrednost, // ki jo je mogoče dati v nahrbtnik s kapaciteto W function knapSack(W, wt, val, n) { let i, w;  naj K = nova matrika (n + 1);    // Gradi tabelo K[][] na način od spodaj navzgor za (i = 0; i<= n; i++)  {  K[i] = new Array(W + 1);  for (w = 0; w <= W; w++)   w == 0)  K[i][w] = 0;  else if (wt[i - 1] <= w)  K[i][w]  = max(val[i - 1]  + K[i - 1][w - wt[i - 1]],  K[i - 1][w]);  else  K[i][w] = K[i - 1][w];    }    return K[n][W];  }    let profit = [ 60, 100, 120 ];  let weight = [ 10, 20, 30 ];  let W = 50;  let n = profit.length;  console.log(knapSack(W, weight, profit, n));>
 PHP 
 // A Dynamic Programming based solution // for 0-1 Knapsack problem // Returns the maximum value that // can be put in a knapsack of  // capacity W function knapSack($W, $wt, $val, $n) { $K = array(array()); // Build table K[][] in // bottom up manner for ($i = 0; $i <= $n; $i++) { for ($w = 0; $w <= $W; $w++)  } return $K[$n][$W]; } // Driver Code $profit = array(60, 100, 120); $weight = array(10, 20, 30); $W = 50; $n = count($profit); echo knapSack($W, $weight, $profit, $n); // This code is contributed by Sam007. ?>>
   
  Izhod      Časovna zapletenost:    O(N * Š). kjer je 'N' število elementov in 'W' je zmogljivost.  
    Pomožni prostor:    O(N * Š). Uporaba dvodimenzionalne matrike velikosti 'N*W'.
 
    Prostorsko optimiziran pristop za problem nahrbtnika 0/1 z uporabo dinamičnega programiranja:    
Za rešitev težave sledite spodnji zamisli:
  
Za izračun trenutne vrstice matrike dp[] potrebujemo samo prejšnjo vrstico, če pa začnemo vrstice prečkati od desne proti levi, lahko to storimo samo z eno vrstico
java pretvori niz v int
 
Spodaj je izvedba zgornjega pristopa:
C++ 
// C++ program for the above approach #include  using namespace std; // Function to find the maximum profit int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n) {  // Making and initializing dp array  int dp[W + 1];  memset(dp, 0, sizeof(dp));  for (int i = 1; i < n + 1; i++) {  for (int w = W; w>= 0; w--) { if (wt[i - 1]<= w)    // Finding the maximum value  dp[w] = max(dp[w],  dp[w - wt[i - 1]] + val[i - 1]);  }  }  // Returning the maximum value of knapsack  return dp[W]; } // Driver code int main() {  int profit[] = { 60, 100, 120 };  int weight[] = { 10, 20, 30 };  int W = 50;  int n = sizeof(profit) / sizeof(profit[0]);  cout << knapSack(W, weight, profit, n);  return 0; }>
 Java 
// Java program for the above approach import java.util.*; class GFG {  static int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n)  {  // Making and initializing dp array  int[] dp = new int[W + 1];  for (int i = 1; i < n + 1; i++) {  for (int w = W; w>= 0; w--) { if (wt[i - 1]<= w)  // Finding the maximum value  dp[w]  = Math.max(dp[w], dp[w - wt[i - 1]]  + val[i - 1]);  }  }  // Returning the maximum value of knapsack  return dp[W];  }  // Driver code  public static void main(String[] args)  {  int profit[] = { 60, 100, 120 };  int weight[] = { 10, 20, 30 };  int W = 50;  int n = profit.length;  System.out.print(knapSack(W, weight, profit, n));  } } // This code is contributed by gauravrajput1>
 Python 
# Python code to implement the above approach def knapSack(W, wt, val, n): # Making the dp array dp = [0 for i in range(W+1)] # Taking first i elements for i in range(1, n+1): # Starting from back, # so that we also have data of # previous computation when taking i-1 items for w in range(W, 0, -1): if wt[i-1] <= w: # Finding the maximum value dp[w] = max(dp[w], dp[w-wt[i-1]]+val[i-1]) # Returning the maximum value of knapsack return dp[W] # Driver code if __name__ == '__main__': profit = [60, 100, 120] weight = [10, 20, 30] W = 50 n = len(profit) print(knapSack(W, weight, profit, n)) # This code is contributed by Suyash Saxena>
 C# 
// Java program for the above approach using System; public class GFG {  static int knapSack(int W, int[] wt, int[] val, int n)  {  // Making and initializing dp array  int[] dp = new int[W + 1];  for (int i = 1; i < n + 1; i++) {  for (int w = W; w>= 0; w--) { if (wt[i - 1]<= w)  // Finding the maximum value  dp[w]  = Math.Max(dp[w], dp[w - wt[i - 1]]  + val[i - 1]);  }  }  // Returning the maximum value of knapsack  return dp[W];  }  // Driver code  public static void Main(String[] args)  {  int[] profit = { 60, 100, 120 };  int[] weight = { 10, 20, 30 };  int W = 50;  int n = profit.Length;  Console.Write(knapSack(W, weight, profit, n));  } } // This code is contributed by gauravrajput1>
 Javascript 
 function knapSack(W , wt , val , n)  {  // Making and initializing dp array  var dp = Array(W + 1).fill(0);  for (i = 1; i < n + 1; i++) {  for (w = W; w>= 0; w--) { if (wt[i - 1]<= w)  // Finding the maximum value  dp[w] = Math.max(dp[w], dp[w - wt[i - 1]] + val[i - 1]);  }  }    // Returning the maximum value of knapsack  return dp[W];  }  // Driver code  var profit = [ 60, 100, 120 ];  var weight = [ 10, 20, 30 ];  var W = 50;  var n = profit.length;  console.log(knapSack(W, weight, profit, n)); // This code is contributed by Rajput-Ji>
   
  Izhod  
220>
 
    Časovna zapletenost    : O(N * Š). Ker se izognemo odvečnim izračunom stanj  
    Pomožni prostor    : O(W) Ker uporabljamo 1-D polje namesto 2-D polja